Question

已知A（-1，0），B（1，4），在平面上动点Q满足

QA

•

QB

=4，P是Q关于直线y=2（x-4）的对称点，求动点P的轨迹方程．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：综合题,直线与圆

分析：设Q（x，y），利用

QA

•

QB

=4，根据数量积公式，可得x²+（y-2）²=9，由Q与P关于直线L：y=2x-8对称可知，P的轨迹也是半径等于3的圆，求出圆心的坐标，即可得出结论．

解答： 解：设Q（x，y），则
∵

QA

•

QB

=4，A（-1，0），B（1，4），
∴（x+1，y）•（x-1，y-4）=x²-1+y²-4y=4
整理得x²+（y-2）²=9 ①
这是圆心在（0，2），半径等于3的圆
由Q与P关于直线L：y=2x-8对称可知，P的轨迹也是半径等于3的圆，
而其圆心（a，b）与圆①的圆心关于y=2（x-4）对称，
∴

b-2 a •2=-1 2+b 2 =2• a 2 -8

，解得a=8，b=-2
故P的轨迹方程为 （x-8）²+（y+2）²=9．

点评：本题考查向量的数量积公式，考查轨迹方程，考查对称点的求法，考查学生的计算能力，属于中档题．