【题目】已知函数(
为常数).
(1)讨论函数的单调性;
(2)若函数在
内有极值,试比较
与
的大小,并证明你的结论.
【答案】(1)当时,在
上是增函数,在
上是增函数;当
时,在
上是增函数,在
上是增函数,在
上是减函数,在
上是减函数; (2)当
时,
;当
时,
;当
时,
.见解析
【解析】
(1)求导得到,讨论
,
,
三种情况计算得到答案.
(2)根据题意有一变号零点在区间
上,得到
,构造函数
,根据函数的单调性得到答案.
(1)定义域为,
设
当时,
,此时
,从而
恒成立,
故函数在
上是增函数,在
上是增函数;
当时,函数
图象开口向上,对称轴
,又
所以此时,从而
恒成立,
故函数在
上是增函数,在
上是增函数;
当时,
,设
有两个不同的实根
,
共中,
令,则
,
令,得
或
;令
,得
或
,
故函数在
上是增函数,在
上是增函数,在
上是减函数,在
上是减函数.
综上,当时,函数
在
上是增函数,在
上是增函数;
当时,函数
在
上是增函数,在
上是增函数,在
上是减函数,在
上是减函数.
(2)要使在
上有极值,由(1)知
,①
则有一变号零点在区间
上,不妨设
,
又因为,∴
,又
,
∴只需,即
,∴
,②
联立①②可得:.
从而与
均为正数.
要比较与
的大小,同取自然底数的对数,
即比较与
的大小,再转化为比较
与
的大小.
构造函数,则
,
再设,则
,从而
在
上单调递减,
此时,故
在
上恒成立,则
在
上单调递减.
综上所述,当时,
;
当时,
;
当时,
.
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【题目】在平面直角坐标系中,圆
,点
,过
的直线
与圆
交于点
,过
做直线
平行
交
于点
.
(1)求点的轨迹
的方程;
(2)过的直线与
交于
、
两点,若线段
的中点为
,且
,求四边形
面积的最大值.
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【题目】甲、乙两陶瓷厂生产规格为的矩形瓷砖(长和宽都约为
) ,根据产品出厂检测结果,每片瓷砖质量
(单位:
)在
之间的称为正品,其余的作为废品直接回炉处理.正品瓷
砖按行业生产标准分为“优等”、“一级”、“合格”三个标准,主要按照每片瓷砖的“尺寸误差”加以划分,每片价格分别为元、
元、
元.若规定每片正品瓷砖的“尺寸误差”计算方式为,设矩形瓷砖的长与宽分别为
(单位:
) ,则“尺寸误差”为
,“优等”瓷砖的“尺寸误差”范围是
,“一级”瓷砖的“尺寸误差”范围是
,“合格”瓷砖的“尺寸误差”范围是
.现分别从甲、乙两厂生产的正品瓷砖中随机抽取
片瓷砖,相应的“尺寸误差”组成的样本数据如下:
(甲厂产品的“尺寸误差”频数表)
尺寸误差 | 频数 |
(乙厂产品的“尺寸误差”柱状图)
(1)根据样本数据分别计算甲、乙两厂生产的正品瓷砖的“尺寸误差”的平均值;
(2)若用这个样本的频率分布估计总体分布,求乙厂所生产的正品瓷砖的平均价格;
(3)现用分层抽样的方法从甲厂生产的片样本瓷砖中随机抽取
片,再从抽取的
片瓷砖中的“一级”瓷砖与“合格”瓷砖中随机选.取
片进一步分析其“平整度”,求这
片瓷砖的价格之和大于
元的概率.
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【题目】在平面直角坐标系中,以原点为极点,轴非负半轴为极轴,长度单位相同,建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
,直线
过点
,倾斜角为
.
(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程,写出直线
的参数方程的标准形式;
(2)已知直线交曲线
于
两点,求
.
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【题目】在四棱锥中,平面
平面PCD,底面ABCD为梯形,
,
,M为PD的中点,过A,B,M的平面与PC交于N.
,
,
,
.
(1)求证:N为PC中点;
(2)求证:平面PCD;
(3)T为PB中点,求二面角的大小.
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【题目】已知椭圆(
)的离心率为
,以
的短轴为直径的圆与直线
相切.
(1)求的方程;
(2)直线交
于
,
两点,且
.已知
上存在点
,使得
是以
为顶角的等腰直角三角形,若
在直线
的右下方,求
的值.
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【题目】已知函数=x2lnx-a(x2-1)(a∈R),若
≥0在x∈(0,1] 时恒成立,则实数a的取值范围是
A. [,+ ∞) B. [
,+∞) C. [2,+∞) D. [1,+∞)
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【题目】如图是某学校研究性课题《什么样的活动最能促进同学们进行垃圾分类》向题的统计图(每个受访者都只能在问卷的5个活动中选择一个),以下结论错误的是( )
A. 回答该问卷的总人数不可能是100个
B. 回答该问卷的受访者中,选择“设置分类明确的垃圾桶”的人数最多
C. 回答该问卷的受访者中,选择“学校团委会宣传”的人数最少
D. 回答该问卷的受访者中,选择“公益广告”的人数比选择“学校要求”的少8个
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