【题目】已知函数.
(1)设函数,求函数
的极值;
(2)若在
上存在一点
,使得
成立,求
的取值范围.
【答案】(1)当时,
极大值为
,无极小值;当
时,
无极值;(2)
或
.
【解析】
(1)求出,对
分类讨论求出单调区间,即可求出结论;
(2)在
上存在一点
,使得
成立,即为
,只需
,结合(1)中的结论对
分类讨论求出
,即可求解.
(1)依题意,定义域为
,
∴,
①当,即
时,
令,∵
,∴
,
此时,在区间
上单调递增,
令,得
.
此时,在区间
上单调递减.
②当,即
时,
恒成立,
在区间
上单调递减.
综上,当时,
在
处取得极大值
,无极小值;
当时,
在区间
上无极值.
(2)依题意知,在上存在一点
,使得
成立,
即在上存在一点
,使得
,
故函数在
上,有
.
由(1)可知,①当,
即时,
在
上单调递增,
∴,∴
,
∵,∴
.
②当,或
,
即时,
在
上单调递减,
∴,∴
.
③当,即
时,
由(2)可知,在
处取得极大值也是区间
上的最大值,
即,
∵,∴
在
上恒成立,
此时不存在使
成立.
综上可得,所求的取值范围是
或
.
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【题目】已知函数f(x)=2|x+1|+|x-2|.
(1)求f(x)的最小值m;
(2)若a,b,c均为正实数,且满足a+b+c=m,求证:+
+
≥3.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在三棱锥中,
底面
,
,
是线段
上一点,且
.三棱锥
的各个顶点都在球
表面上,过点
作球
的截面,若所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为
,则球
的表面积为( )
A.B.
C.
D.
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【题目】蹴鞠起源于春秋战国,是现代足球的前身.到了唐代,制作的蹴鞠已接近于现代足球,做法是:用八片鞣制好的尖皮缝制成“圆形”的球壳,在球壳内放一个动物膀胱,“嘘气闭而吹之”,成为充气的球.如图所示,将八个全等的正三角形缝制成一个空间几何体,在几何体内放一个气球,往气球内充气使几何体膨胀,当几何体膨胀成球体(顶点位置不变)且恰好是原几何体外接球时,测得球的体积是,则正三角形的边长为( )
A.B.
C.
D.
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【题目】如图,某同学在素质教育基地通过自己设计、选料、制作,打磨出了一个作品,作品由三根木棒,
,
组成,三根木棒有相同的端点
(粗细忽略不计),且
四点在同一平面内,
,
,木棒
可绕点O任意旋转,设BC的中点为D.
(1)当时,求OD的长;
(2)当木棒OC绕点O任意旋转时,求AD的长的范围.
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【题目】 已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|.
(1)当a=-3时,求不等式f(x)≥3的解集;
(2)若f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求a的取值范围.
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【题目】在平面直角坐标系中,以原点为极点,轴非负半轴为极轴,长度单位相同,建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
,直线
过点
,倾斜角为
.
(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程,写出直线
的参数方程的标准形式;
(2)已知直线交曲线
于
两点,求
.
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