【题目】已知函数.
(1)判断函数的奇偶性,并说明理由;
(2)已知不等式在
上恒成立,求实数
的最大值;
(3)当时,求函数
的零点个数.
【答案】(1)见解析(2)(3)9个
【解析】
(1) 当时,
可得
是偶函数,当
时,可得
是非奇非偶函数.
(2) 当时,
,即将问题转化为
在
上恒成立,设
,只要使
.然后求出
的导数,求出函数
的最小值.
(3)当时,
,得到
得
或
,问题即求
和
和
三个方程总的解的个数.
解:(1)函数定义域为,关于原点对称.
当时,
,
,
,
则是定义在
上的偶函数;
当时,
,
,
且
,
所以是非奇非偶函数.
(2)当时,
,即已知
在
上恒成立,
即在
上恒成立,
令,只要使
.
,因为
,
当时,
,
在
上单调递减,
当时,
,
在
上单调递增,
即的最小值是
,
解不等式,得
.所以实数
的最大值是
.
(3)当时,
,解
得
或
,
问题即求和
和
三个方程总的解的个数.
由(1)得函数是偶函数,
当时,
,
,
当时,
,
在
上单调递减;
当时,
,
在
上单调递增;
所以,且
由偶函数的性质,在
上单调递减,
在上单调递增,在
上单调递减,
在上单调递减,在
上单调递增
方程有3个解;方程
有2个解;
方程有4个解;所以函数
的零点个数是9个.
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【题目】椭圆经过点
,且离心率为
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过点任作一条直线
与椭圆
交于不同的两点
.在
轴上是否存在点
,使得
?若存在,求出点
的坐标;若不存在,请说明理由。
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【题目】(本小题满分13分)
如图,已知抛物线,过点
任作一直线与
相交于
两点,过点
作
轴的平行线与直线
相交于点
(
为坐标原点).
(1)证明:动点在定直线上;
(2)作的任意一条切线
(不含
轴)与直线
相交于点
,与(1)中的定直线相交于点
,证明:
为定值,并求此定值.
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【题目】在平面直角坐标系中,圆
,点
,过
的直线
与圆
交于点
,过
做直线
平行
交
于点
.
(1)求点的轨迹
的方程;
(2)过的直线与
交于
、
两点,若线段
的中点为
,且
,求四边形
面积的最大值.
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【题目】已知椭圆E:y2=1(m>1)的离心率为
,过点P(1,0)的直线与椭圆E交于A,B不同的两点,直线AA0垂直于直线x=4,垂足为A0.
(Ⅰ)求m的值;
(Ⅱ)求证:直线A0B恒过定点.
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【题目】如图,在四棱锥S-ABCD中,四边形ABCD菱形,,平面
平面 ABCD,
.E,F 分别是线段 SC,AB 上的一点,
.
(1)求证:平面SAD;
(2)求平面DEF与平面SBC所成锐二面角的正弦值.
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【题目】甲、乙两陶瓷厂生产规格为的矩形瓷砖(长和宽都约为
) ,根据产品出厂检测结果,每片瓷砖质量
(单位:
)在
之间的称为正品,其余的作为废品直接回炉处理.正品瓷
砖按行业生产标准分为“优等”、“一级”、“合格”三个标准,主要按照每片瓷砖的“尺寸误差”加以划分,每片价格分别为元、
元、
元.若规定每片正品瓷砖的“尺寸误差”计算方式为,设矩形瓷砖的长与宽分别为
(单位:
) ,则“尺寸误差”为
,“优等”瓷砖的“尺寸误差”范围是
,“一级”瓷砖的“尺寸误差”范围是
,“合格”瓷砖的“尺寸误差”范围是
.现分别从甲、乙两厂生产的正品瓷砖中随机抽取
片瓷砖,相应的“尺寸误差”组成的样本数据如下:
(甲厂产品的“尺寸误差”频数表)
尺寸误差 | 频数 |
(乙厂产品的“尺寸误差”柱状图)
(1)根据样本数据分别计算甲、乙两厂生产的正品瓷砖的“尺寸误差”的平均值;
(2)若用这个样本的频率分布估计总体分布,求乙厂所生产的正品瓷砖的平均价格;
(3)现用分层抽样的方法从甲厂生产的片样本瓷砖中随机抽取
片,再从抽取的
片瓷砖中的“一级”瓷砖与“合格”瓷砖中随机选.取
片进一步分析其“平整度”,求这
片瓷砖的价格之和大于
元的概率.
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