Question

5．在一个正方体的内切球中有一个内接正四棱锥，记正四棱锥的体积为V₁正方体的体积为V₂，且V₁=KV₂，则K的最大值为（　　）

• A． $\frac{8}{81}$
• B． $\frac{16}{81}$
• C． $\frac{32}{81}$
• D． $\frac{64}{81}$

Answer 1

分析 设出正方体的棱长，求出球的半径，然后求解球的内接正四棱锥的体积的表达式，求出正四棱锥体积的最大值，即可求解K．

解答 解：设正方体的棱长为2，则正方体的内切球的半径为1，正方体的体积V₂=8．
设正四棱锥底面边长为a，底面到球心的距离为x，
则：x²+（$\frac{\sqrt{2}a}{2}$）²=1²，
是正四棱锥的体积为：V=$\frac{1}{3}$a²h=$\frac{1}{3}$a²（1+x）=$\frac{2}{3}$（1-x²）（1+x）其中x（0，1），
因为$\frac{2}{3}$（1-x²）（1+x）=$\frac{1}{3}$（2-2x）（1+x）（1+x）≤$\frac{1}{3}$$（{\frac{2-2x+1+x+1+x}{3}）}^{3}$=$\frac{64}{81}$，当且仅当x=$\frac{1}{3}$时取等号．
正四棱锥的最大值为：$\frac{64}{81}$，即V₁=$\frac{64}{81}$，V₁=KV₂
可得$\frac{64}{81}$=8k，解得k=$\frac{8}{81}$．
故选：A．

点评 本题考查正方体的内接球，球的内接体，几何体的体积的求法，基本不等式的应用，考查分析问题解决问题以及空间想象能力计算能力．