Question

记动点P是棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的对角线BD₁上一点，记．当∠APC为钝角时，求λ的取值范围．

Answer 1

解：由题设可知，以、、为单位正交基底，
建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，
则有A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D（0，0，1）
由，得，所以
显然∠APC不是平角，所以∠APC为钝角等价于，则等价于
即（1-λ）（-λ）+（-λ）（1-λ）+（λ-1）²=（λ-1）（3λ-1）＜0，得
因此，λ的取值范围是
分析：由题意易知∠APC不可能为平角，则∠APC为钝角等价于，即，再将用关于λ的字母表示，根据向量数量积的坐标运算即可
点评：本题考查了用空间向量求直线间的夹角，一元二次不等式的解法，属于基础题．