【题目】已知函数.
(1)当,求函数
的单调区间;
(2)若函数在
上是减函数,求
的最小值;
(3)证明:当时,
.
【答案】(1) 函数的单调递减区间是
,单调递增区间是
.
(2) 的最小值为
.
(3)证明见解析.
【解析】分析:函数的定义域为
,
(1)函数,据此可知函数
的单调递减区间是
,单调递增区间是
(2)由题意可知在
上恒成立.据此讨论可得
的最小值为
.
(3)问题等价于.构造函数
,则
取最小值
.
设,则
.由于
,据此可知题中的结论成立.
详解:函数的定义域为
,
(1)函数,
当且
时,
;
当时,
,
所以函数的单调递减区间是
,
单调递增区间是
(2)因在上
为减函数,
故在
上恒成立.
所以当时,
,
又,
故当,即
时,
.
所以,于是
,
故的最小值为
.
(3)问题等价于.
令,则
,
当时,
取最小值
.
设,则
,
知在
上单调递增,在
上单调递减.
∴.
∵,
∴,
∴
故当时,
.
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【题目】古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现:“平面内到两个定点的距离之比为定值
的点的轨迹是圆”.后来,人们将这个圆以他的名字命名,称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆在平面直角坐标系
中,
点
.设点
的轨迹为
,下列结论正确的是( )
A. 的方程为
B. 在轴上存在异于
的两定点
,使得
C. 当三点不共线时,射线
是
的平分线
D. 在上存在点
,使得
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】为比较甲、乙两地某月11时的气温情况,随机选取该月中的5天中11时的气温数据(单位:℃)制成如图所示的茎叶图,考虑以下结论:
①甲地该月11时的平均气温低于乙地该月11时的平均气温
②甲地该月11时的平均气温高于乙地该月11时的平均气温
③甲地该月11时的气温的标准差小于乙地该月11时的气温的标准差
④甲地该月11时的气温的标准差大于乙地该月11时的气温的标准差
其中根据茎叶图能得到的正确结论的编号为( )
A.①③
B.①④
C.②③
D.②④
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【题目】某企业有、
两个岗位招聘大学毕业生,其中第一天收到这两个岗位投简历的大学生人数如下表:
|
| 总计 | |
女生 | 12 | 8 | 20 |
男生 | 24 | 56 | 80 |
总计 | 36 | 64 | 100 |
(1)根据以上数据判断是有的把握认为招聘的
、
两个岗位与性别有关?
(2)从投简历的女生中随机抽取两人,记其中投岗位的人数为
,求
的分布列和数学期望.
参考公式:,其中
.
参考数据:
0.050 | 0.025 | 0.010 | |
3.841 | 5.024 | 6.635 |
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【题目】现需要设计一个仓库,由上下两部分组成,上部的形状是正四棱锥,下部的形状是正四棱柱
(如图所示),并要求正四棱柱的高
是正四棱锥的高
的4倍.
(1)若,
,则仓库的容积是多少?
(2)若正四棱锥的侧棱长为,当
为多少时,下部的正四棱柱侧面积最大,最大面积是多少?
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【题目】在平面四边形ACBD(图①)中,△ABC与△ABD均为直角三角形且有公共斜边AB,设AB=2,∠BAD=30°,∠BAC=45°,将△ABC沿AB折起,构成如图②所示的三棱锥C′﹣ABC,且使 .
(Ⅰ)求证:平面C′AB⊥平面DAB;
(Ⅱ)求二面角A﹣C′D﹣B的余弦值.
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【题目】从某校高三年级800名学生中随机抽取50名测量身高,据测量被抽取的学生的身高全部介于155cm和195cm之间,将测量结果按如下方式分成八组:第一组[155,160),第二组[160,165),……,第八组[190.195],下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.
(1)求第七组的频数;
(2)试估计这所学校高三年级800名学生中身高在180cm以上(含180cm)的人数为多少.
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【题目】东莞市摄影协会准备在2019年10月举办主题为“庆祖国70华诞——我们都是追梦人”摄影图片展.通过平常人的镜头记录国强民富的幸福生活,向祖国母亲的生日献礼,摄影协会收到了来自社会各界的大量作品,打算从众多照片中选取100张照片展出,其参赛者年龄集中在之间,根据统计结果,做出频率分布直方图如图:
(1)求频率分布直方图中的值,并根据频率分布直方图,求这100位摄影者年龄的样本平均数
和中位数
(同一组数据用该区间的中点值作代表);
(2)为了展示不同年龄作者眼中的祖国形象,摄影协会按照分层抽样的方法,计划从这100件照片中抽出20个最佳作品,并邀请相应作者参加“讲述照片背后的故事”座谈会.
①在答题卡上的统计表中填出每组相应抽取的人数:
年龄 | |||||
人数 |
②若从年龄在的作者中选出2人把这些图片和故事整理成册,求这2人至少有一人的年龄在
的概率.
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