Question

已知函数f(x)=－x³＋3x²＋9x＋m

（I）求f(x)的单调递减区间；

（II）若f(x)在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．

 

Answer 1

【答案】

（1）减区间为（－∞，－1），（3，＋∞）；（2）－7.

【解析】本试题主要考查了导数在研究函数中的运用。第一问中，求导数，f ′(x)＝－3x²＋6x＋9．，然后令f ′(x)<0，解得x<－1或x>3，

得到单调减区间。第二问中，因为在（－1，3）上f ‘(x)>0，所以f(x)在[－1, 2]上单调递增，又由于f(x)在[－2，－1]上单调递减。利用f(x)在区间[－2，2]上的最大值为20，因为f(－2)＝8＋12－18＋m=2＋m，f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋m，所以f(2)>f(－2)可得结论。

解：（I） f ′(x)＝－3x²＋6x＋9．令f ′(x)<0，解得x<－1或x>3，

     所以函数f(x)的单调递减区间为（－∞，－1），（3，＋∞）．

    （II）因为f(－2)＝8＋12－18＋m=2＋m，f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋m，

     所以f(2)>f(－2)．因为在（－1，3）上f ‘(x)>0，所以f(x)在[－1, 2]上单调递增，又由于f(x)在[－2，－1]上单调递减，因此f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2，2]上的最大值和最小值，于是有 22＋m＝20，解得 m＝－2．   

故f(x)=－x³＋3x²＋9x－2，因此f(－1)＝1＋3－9－2＝－7，

即函数f(x)在区间[－2，2]上的最小值为－7．