Question

已知数列{b_n}的前n项和为T_n，且T_n-2b_n+3=0，n∈N^*．
（Ⅰ）求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设C_n=

log2( bn 3 )，n为奇数 bn，n为偶数

，求数列{c_n}的前2n+1项和P_2n+1．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的求和

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）当n≥2时，S_n-1-2b_n-1+3=0，两式相减，得数列{b_n}为等比数列，即可求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）确定数列{c_n}的通项，利用分组求和的方法求数列{c_n}的前2n+1项和P_2n+1．

解答： 解：（Ⅰ）∵T_n-2b_n+3=0，∴当n=1时，b₁=3，
当n≥2时，S_n-1-2b_n-1+3=0，两式相减，得b_n=2b_n-1，（n≥2）
∴数列{b_n}为等比数列，∴bn=3•2n-1．                        …（6分）
（Ⅱ）cn=

n -1，     n为奇数 3•2n-1 ， n为偶数

．      
令a_n=n-1，…（8分）
故P_2n+1=（a₁+a₃+…+a_2n+1）+（b₂+b₄+…+b_2n）=

(0+2n)•(n+1)

2

+

6(1-4n)

1-4

…（12分）
=2²ⁿ⁺¹+n²+n-2…（14分）

点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项与求和，确定数列{b_n}为等比数列是解题的关键．