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(2012•西城区一模)乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行,比赛采用7局4胜制(即先胜4局者获胜,比赛结束),假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同.
(Ⅰ)求甲以4比1获胜的概率;
(Ⅱ)求乙获胜且比赛局数多于5局的概率;
(Ⅲ)求比赛局数的分布列.
分析:(I)先由已知,甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率,甲以4比1获胜,根据独立重复试验公式公式,列出算式,得到结果.
(II)记“乙获胜且比赛局数多于5局”为事件B.B包括乙以4:2获胜和乙以4:3获胜,根据独立重复试验公式列出算式,得到结果.
(III)比赛结束时比赛的局数为X,则X的可能取值为4,5,6,7,根据独立重复试验公式计算出各自的概率即可得到分布列.
解答:解:(Ⅰ)由已知,甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是
1
2
. …(1分)
记“甲以4比1获胜”为事件A,
P(A)=
C
3
4
(
1
2
)3(
1
2
)4-3
1
2
=
1
8
.                               …(4分)
(Ⅱ)记“乙获胜且比赛局数多于5局”为事件B.
因为,乙以4比2获胜的概率为P1=
C
3
5
(
1
2
)3(
1
2
)5-3
1
2
=
5
32
,…(6分)
乙以4比3获胜的概率为P2=
C
3
6
(
1
2
)3(
1
2
)6-3
1
2
=
5
32
,…(7分)
所以 P(B)=P1+P2=
5
16
.                                    …(8分)
(Ⅲ)设比赛的局数为X,则X的可能取值为4,5,6,7.
P(X=4)=2
C
4
4
(
1
2
)4=
1
8
,…(9分)
P(X=5)=2
C
3
4
(
1
2
)3(
1
2
)4-3
1
2
=
1
4
,…(10分)
P(X=6)=2
C
3
5
(
1
2
)3(
1
2
)5-2
1
2
=
5
16
,…(11分)P(X=7)=2
C
3
6
(
1
2
)3(
1
2
)6-3
1
2
=
5
16
.                           …(12分)
比赛局数的分布列为:
X 4 5 6 7
P
1
8
1
4
5
16
5
16
(13分)
点评:本小题主要考查古典概型及其概率计算,考查取有限个值的离散型随机变量及其分布列和均值的概念,通过设置密切贴近现实生活的情境,考查概率思想的应用意识和创新意识.
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