Question

用card（A）表示非空集合A中的元素个数，已知集合P={x|x+a

x

-1=0，a∈R}，集合Q={x∈（0，+∞）|x³-x²-x+c=0}，则当|card（P）-card（Q）|=1时实数c的取值范围是（　　）

• A、c∈R
• B、c＞0
• C、c＞1
• D、c＞0且c≠1

Answer 1

考点：集合中元素个数的最值,根的存在性及根的个数判断,利用导数研究函数的极值

专题：综合题,数形结合,函数思想,导数的综合应用,集合

分析：对于集合P，借助于换元法和二次函数的图象可知，P只有一个元素，则由|card（P）-card（Q）|=1得，集合Q含有零个或两个元素，对于三次方程根的个数判断，利用导数研究其函数图象即可．

解答：解：对于集合P，令t=

x

≥0，则t²+at-1=0，（t≥0），借助于图象可知，该方程必有且只有一个正根，即card（P）=1，
又因为|card（P）-card（Q）|=1，所以card（Q）=0或2，
对于方程x³-x²-x+c=0，令f（x）=x³-x²-x+c，则f′（x）=3x²-2x-1，由f′（x）=0得x=-

1

3

或1，
由f′（x）=3x²-2x-1可知，函数f（x）在（0，1）上递减，在[1，+∞）上递增，
所以要使x³-x²-x+c=0在（0，+∞）有2个或0个根，只需

f(0)＞0 f(1)＜0

或f(1)＞0，解得c＞1，或0＜c＜1．
故选D

点评：关于方程根的个数、根所在范围等判断问题，一般是利用函数图象结合不等式来解，此题综合考查了一元二次方程在指定区间上方程根的判断，利用导数研究三次函数的性质然后进一步研究函数的图象，最后对三次方程根的个数加以判断．所以作为一个选择题难度有些大．