Question

已知抛物线C：y=-

1

2

x²+6，点P（2，4）、A、B在抛物线上，且直线PA、PB的倾斜角互补．
（1）证明：直线AB的斜率为定值．（2）当直线AB在y轴上的截距为正数时，求△PAB面积的最大值及此时直线AB的方程．

Answer 1

分析：（1）设出A、B坐标，利用一元二次方程根与系数的关系，求出A、B横坐标之差，纵坐标之差，从而求出AB斜率．
（2）设出AB直线方程，与抛物线方程联立，运用根与系数的关系求AB长度，计算P到AB的距离，计算△PAB面积，
使用基本不等式求最大值．

解答：解：（Ⅰ）证：易知点P在抛物线C上，设PA的斜率为k，则直线PA的方程是y-4=k（x-2）．
代入y=-

1

2

x²+6并整理得x²+2kx-4（k+1）=0此时方程应有根x_A及2，
由韦达定理得：
2x_A=-4（k+1），∴x_A=-2（k+1）．∴y_A=k（x_A-2）+4．=-k²-4k+4．∴A（-2（k+1），-k²-4k+4）．
由于PA与PB的倾斜角互补，故PB的斜率为-k．
同理可得B（-2（-k+1），-k²+4k+4）
∴k_AB=2．
（Ⅱ）∵AB的方程为y=2x+b，b＞0．代入方程y=-

1

2

x²+6消去y得

1

2

x²+2x+b-6=0．
|AB|=2

(1+22)[4-2(b-6)]

=2

5(16-2b)

．
∴S=

1

2

|AB|d=

1

2

•2

5(16-2b)

•

b

5

(16-2b)•b•b

≤

( 16-2b+b+b 3 )3

=

64 3

9

．
此时方程为y=2x+

16

3

．

点评：本小题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力．