Question

已知抛物线C：y=2x²，直线y=kx+2交C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作轴的垂线交C于点N．  
（1）求三角形OAB面积的最小值；
（2）证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行；
（3）是否存在实数k使NANB，若存在，求k的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）要求三角形OAB面积的最小值，先表示出面积S=

1

2

AB•d（d为O到直线AB的距离），结合函数的性质可求可求
（2）要证明抛物线C在点N处的切线与AB平行，只要证明切线的斜率与直线AB得斜率相等
（法一）：把y=kx+2代入y=2x²得2x²-kx-2=0，由韦达定理可求N点的坐标为(

k

4

，

k2

8

)．可设在点N处的切线l的方程为y-

k2

8

=m(x-

k

4

)，将y=2x²代入整理，由直线l与抛物线C相切，可得△=0
（法二）：把y=kx+2代入y=2x²得2x²-kx-2=0．由韦达定理可求N点坐标，利用导数可求抛物线在点N处的切线l的斜率
（3）（法一）假设存在实数k，使

NA

•

NB

=0，则NA⊥NB，结合已知M是AB的中点，可得|MN|=

1

2

|AB|，结合方程的根与系数的关系及弦长公式代入可求k
（法二）假设存在实数k，使

NA

•

NB

=0结合方程的根与系数的关系代入可求k

解答：解：（1）设A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），O到直线AB的距离为d=

2

1+k2

联立方程

y=kx+2 y=2x2

整理可得2x²-kx-2=0
则x1+x2=

k

2

，x1x2=-1
∴AB=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2

=

(1+k2)( k2 4 +4)

S△OAB=

1

2

AB•d=

1

2

×

(1+k2)(4+ k2 4 )

×

2

1+k2

=

4+ k2 4

≥2
面积S的最小值为2
解法一：（2）如图，设A（x₁，2x₁²），B（x₂，2x₂²），
把y=kx+2代入y=2x²得2x²-kx-2=0，
由韦达定理得x₁+x₂=

k

2

，x₁x₂=-1，x_N=x_M=

x1+x2

2

=

k

4

，
N点的坐标为(

k

4

，

k2

8

)．
设抛物线在点N处的切线l的方程为y-

k2

8

=m(x-

k

4

)，
将y=2x²代入上式得2x²-mx+

mk

4

-

k2

8

=0，
直线l与抛物线C相切，∴△=m2-8(

mk

4

-

k2

8

)=m2-2mk+k2=(m-k)2=0，
∴m=k．即l∥AB．
（2）假设存在实数k，使

NA

•

NB

=0，则NA⊥NB，又∵M是AB的中点，∴|MN|=

1

2

|AB|．
由（Ⅰ）知y_M=

1

2

(y1+y2)=

1

2

(kx1+2+kx2+2)=

1

2

[k(x1+x2)+4]=

1

2

(

k2

2

+4)=

k2

4

+2
∵MN⊥轴，∴|MN|=|y_M-y_N|=

k2

4

+2-

k2

8

=

k2+16

8

．
又|AB|=

1+k2

•|x1-x2|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

•

( k 2 )2-4×(-1)

=

1

2

k2+1

•

k2+16

．
∴

k2+16

8

=

1

4

k2+1

•

k2+16

，解得k=±2．  
即存在k=±2，使

NA

•

NB

=0．
解法二：（1）如图，设A（x₁，2x₁²），B（x₂，2x₂²），
把y=kx+2代入y=2x²得2x²-kx-2=0．
由韦达定理得x₁+x₂=

k

2

，x1x2=-1．x_N=x_M=

x1+x2

2

=

k

4

，
N点的坐标为(

k

4

，

k2

8

)．∵y=2x²，∴y'=4x，
抛物线在点N处的切线l的斜率为4×

k

4

=k，∴l∥AB．
（2）假设存在实数k，使

NA

•

NB

=0．
由（1）知

NA

=(x1-

k

4

，2

x

2 1

-

k2

8

)，

NB

=(x2-

k

4

，2

x

2 2

-

k2

8

)，则

NA

•

NB

=(x1-

k

4

)(x2-

k

4

)+(2

x

2 1

-

k2

8

)(2

x

2 2

-

k2

8

)
=(x1-

k

4

)(x2-

k

4

)+4(

x

2 1

-

k2

16

)(

x

2 2

-

k2

16

)
=(x1-

k

4

)(x2-

k

4

)•[1+4(x1+

k

4

)(x2+

k

4

)]
=[x1x2-

k

4

(x1+x2)+

k2

16

]•[1+4x1x2+k(x1+x2)+

k2

4

]
=(-1-

k

4

×

k

2

+

k2

16

)•[1+4×(-1)+k×

k

2

+

k2

4

]
=(-1-

k2

16

)(-3+

3

4

k2)=0，
∵-1-

k2

16

＜0，∴-3+

3

4

k2=0，解得k=±2．
即存在k=±2，使

NA

•

NB

=0．

点评：本题主要考查了直线与抛物线的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系，这是处理这类问题的最为长用的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考试具备较强的运算推理的能力