Question

【题目】如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=1，延长A1C1至点P，使C1P=A1C1 ， 连接AP交棱CC1于点D． （Ⅰ）求证：PB1∥平面BDA1；
（Ⅱ）求二面角A﹣A1D﹣B的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】解：以A1为原点，A1B，A1C，A1A分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立坐标系， 则A1（0，0，0），B1（1，0，0），C1（0，1，0），B（1，0，1），P（0，2，0）
（Ⅰ）在△PAA1中，C1D= AA1，则D（0，1， ）
∴ =（1，0，1）， =（0，1， ）， =（﹣1，2，0）
设平面BDA1的一个法向量为 =（a，b，c）
则
令c=﹣1，则 =（1， ，﹣1）
∵ =1×（﹣1）+ ×2+（﹣1）×0=0
∴PB1∥平面BDA1
（Ⅱ）由（I）知平面BDA1的一个法向量 =（1， ，﹣1）
又 =（1，0，0）为平面AA1D的一个法向量
∴cos＜ ， ＞= = =
故二面角A﹣A1D﹣B的平面角的余弦值为
【解析】以A1为原点，A1B，A1C，A1A分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立坐标系，则我们易求出各个点的坐标，进而求出各线的方向向量及各面的法向量．（I）要证明PB1∥平面BDA1 ， 我们可以先求出直线PB1的向量，及平面BDA1的法向量，然后判断证明这两个向量互相垂直（II）由图象可得二面角A﹣A1D﹣B是一个锐二面角，我们求出平面AA1D与平面A1DB的法向量，然后求出两个法向量夹角的余弦值，得到结论．
【考点精析】通过灵活运用直线与平面平行的判定和直线与平面平行的性质，掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行；一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行;简记为：线面平行则线线平行即可以解答此题．