Question

8．已知三棱锥P-ABC中，△ABC为等边三角形，PA=PB=PC，PA⊥PB，点P到平面ABC的距离为2$\sqrt{3}$，则三棱锥P-ABC的体积为36．

Answer 1

分析 设底面边长为a，利用勾股定理计算棱锥的侧棱长，根据勾股定理列方程解出a，再计算棱锥的体积．

解答 解：设P在底面ABC的投影为O，
∵PA=PB=PC，△ABC是等边三角形，
∴O是△ABC的中心，
设△ABC的边长为a，则BD=$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，∴OB=$\frac{2}{3}BD$=$\frac{\sqrt{3}}{3}a$．
∴PB=$\sqrt{P{O}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{12+\frac{{a}^{2}}{3}}$．
∵PA⊥PB，∴PA²+PB²=AB²，
即12+$\frac{{a}^{2}}{3}$+12+$\frac{{a}^{2}}{3}$=a²，
解得a=6$\sqrt{2}$．
∴V_P-ABC=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•PO$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}×2\sqrt{3}=\frac{{a}^{2}}{2}$=36．
故答案为：36．

点评 本题考查了正三棱锥的结构特征和体积计算，属于中档题．