Question

19．在△ABC中，已知AC=2，BC=3，cosA=-$\frac{4}{5}$，则sin（2B+$\frac{π}{6}$）=$\frac{17+12\sqrt{7}}{25}$．

Answer 1

分析 由条件利用同角三角的基本关系求得sinA的值，利用正弦定理求得sinB的值，可得cosB的值，利用二倍角公式求得sin2B、cos2B的值，再利用两角和的正弦公式，求得要求式子的值．

解答 解：△ABC中，∵已知AC=2，BC=3，cosA=-$\frac{4}{5}$∈（$\frac{3π}{4}$，π），∴B∈（0，$\frac{π}{4}$），
∴sinA=$\sqrt{{1-cos}^{2}A}$=$\frac{3}{5}$，则由正弦定理可得$\frac{BC}{sinA}$=$\frac{3}{\frac{3}{5}}$=$\frac{2}{sinB}$，
∴sinB=$\frac{2}{5}$，cosB=$\sqrt{{1-sin}^{2}B}$=$\frac{\sqrt{21}}{5}$，∴sin2B=2sinBcosB=$\frac{4\sqrt{21}}{25}$，∴cos2B=1-2sin²B=$\frac{17}{25}$，
sin（2B+$\frac{π}{6}$）=sin2Bcos$\frac{π}{6}$+cos2Bsin$\frac{π}{6}$=$\frac{4\sqrt{21}}{25}$•$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{17}{25}$•$\frac{1}{2}$=$\frac{17+12\sqrt{7}}{50}$，
故答案为：$\frac{17+12\sqrt{7}}{50}$．

点评 本题主要考查同角三角的基本关系，正弦定理，二倍角公式，两角和的正弦公式，属于基础题．