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    16．2015年世界游泳锦标赛7月24号在俄罗斯喀山举行，比赛期间，来自俄罗斯喀山国立大学的男女大学生共9名志愿者被随机地平均分配到跳水、游泳、水球这三个场地服务，且跳水场地至少有一名女大学生志愿者的概率是$\frac{16}{21}$．
    （1）求游泳场地至少有男、女大学生志愿者各一人的概率；
    （2）设随机变量X为在水球场地的男大学生志愿者的人数，求X的分布列及期望．

    分析 （1）记“至少一名女大学生志愿者被分到跳水场地”为事件A，则事件A的对立事件是“没有女大学生志愿者被分到跳水场地”，由此求出女大学生志愿者有职有3人，男大学生志愿者有6人，从而能求出游泳场地至少有男、女大学生志愿者各一人的概率．
    （2）随机变量X为在水球场地的男大学生志愿者的人数，由题意知X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列及期望．

    解答 解：（1）记“至少一名女大学生志愿者被分到跳水场地”为事件A，
    则事件A的对立事件是“没有女大学生志愿者被分到跳水场地”，
    设有女大学生为x人，则1≤x≤9，
    ∵跳水场地至少有一名女大学生志愿者的概率是$\frac{16}{21}$，
    ∴P（A）=1-$\frac{{C}_{9-x}^{3}{C}_{6}^{3}}{{C}_{9}^{3}{C}_{6}^{3}}$=$\frac{16}{21}$，即（9-x）（8-x）（7-x）=120，解得x=3，
    ∴女大学生志愿者有职有3人，男大学生志愿者有6人，
    记“游泳场地至少有男、女大学生志愿者各一人”为事件B，
    则P（B）=$\frac{（{C}_{3}^{1}{C}_{4}^{2}+{C}_{3}^{2}{C}_{6}^{1}）{C}_{6}^{3}}{{C}_{9}^{3}{C}_{6}^{3}}$=$\frac{3}{4}$，
    ∴游泳场地至少有男、女大学生志愿者各一人的概率为$\frac{3}{4}$．
    （2）随机变量X为在水球场地的男大学生志愿者的人数，由题意知X的可能取值为0，1，2，3，
    P（X=0）=$\frac{{C}_{3}^{3}{C}_{6}^{3}}{{C}_{9}^{3}{C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{84}$，
    P（X=1）=$\frac{{C}_{6}^{1}{C}_{3}^{2}{C}_{6}^{3}}{{C}_{9}^{3}{C}_{6}^{3}}$=$\frac{18}{84}=\frac{3}{14}$，
    P（X=2）=$\frac{{C}_{6}^{2}{C}_{3}^{1}{C}_{6}^{3}}{{C}_{9}^{3}{C}_{6}^{3}}$=$\frac{45}{84}$=$\frac{15}{28}$，
    P（X=3）=$\frac{{C}_{6}^{3}{C}_{6}^{3}}{{C}_{9}^{3}{C}_{6}^{3}}$=$\frac{20}{84}=\frac{5}{21}$
    ∴X的分布列为：

     X 0 1 2 3
     P $\frac{1}{84}$ $\frac{3}{14}$ $\frac{15}{28}$ $\frac{5}{21}$
    E（X）=$0×\frac{1}{84}+1×\frac{3}{14}+2×\frac{15}{28}+3×\frac{5}{21}$=$\frac{25}{14}$．

    点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．

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