Question

已知函数f（x）=2

3

cos²x-2sinxcosx-

3

，
（1）求函数的最小正周期及取得最小值的x的集合；
（2）求函数f（x）的单调递增区间．
（3）求f（x）在x=

π

3

处的切线方程．

Answer 1

分析：利用二倍角公式以及两角和的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，
（1）直接利用周期公式求出函数f （x）的最小正周期；利用正弦函数的最值，求出函数f （x）的最小值，以及取得最小值时x的取值集合；
（2）通过正弦函数的单调增区间，直接求出函数f （x）的单调减区间；
（3）先求函数的导数，然后求出切线的斜率，即可求出结果．

解答：解：（1）∵f（x）=2

3

cos²x-2sinxcosx-

3

=

3

（cos2x+1）-sin2x-

3

 …（2分）
=2cos（2x+

π

6

）=-2sin(2x-

π

3

)…（4分）
最小正周期为π           …（5分）
当2x+

π

6

=π+2kπ时，即x=

5π

12

+kπ，k∈z函数有最小值-2  …（7分）
（2）2kπ-π≤2x+

π

6

≤2kπ            …（8分）
∴kπ-

7π

12

≤x≤kπ-

π

12

，k∈Z
函数f（x）的单调递增区间为[kπ-

7π

12

，kπ-

π

12

]，k∈Z   …（10分）
（3）因为f/(x)=-4cos(2x-

π

3

)…（11分）
所以k=f/(

π

3

)=-2…（12分）
而f(

π

3

)=-

3

从而f（x）在x=

π

3

处的切线方程为y+

3

=-2(x-

π

3

)
即6x+3y+3

3

-2π=0…（14分）

点评：本题考查三角函数的二倍角公式，两角和的正弦函数的应用，考查函数周期、单调增区间的求法，考查计算能力，常考题型．