Question

△ABC的三个内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，R是△ABC的外接圆半径，有下列四个条件：
（1）（a+b+c）（a+b-c）=3ab
（2）sinA=2cosBsinC
（3）b=acosC，c=acosB
（4）
有两个结论：甲：△ABC是等边三角形．乙：△ABC是等腰直角三角形．
请你选取给定的四个条件中的两个为条件，两个结论中的一个为结论，写出一个你认为正确的命题    ．

Answer 1

【答案】分析：若（1）（2）→甲，由（1）利用平方差及完全平方公式变形得到关于a，b及c的关系式，利用余弦定理表示出cosC，把得到的关系式代入求出cosC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出C为60°，再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简（2）中的等式，得到sin（B-C）=0，由B和C为三角形的内角，得到B-C的范围，利用特殊角的三角函数值得到B=C，从而得到三角形为等边三角形；
若（2）（4）→乙，利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简（2）中的等式，得到sin（B-C）=0，由B和C为三角形的内角，得到B-C的范围，利用特殊角的三角函数值得到B=C，再利用正弦定理化简（4）中的等式，得到a=b，利用勾股定理的逆定理得到∠A为直角，从而得到三角形为等腰直角三角形；
若（3）（4）→乙，利用正弦定理化简（4）中的等式，得到a=b，利用勾股定理的逆定理得到∠A为直角，再利用正弦定理化简（3）中的两等式，分别表示出sinA，两者相等再利用二倍角的正弦函数公式，得到sin2B=sin2C，由B和C都为三角形的内角，可得B=C，从而得到三角形为等腰直角三角形．三者选择一个即可．
解答：解：由（1）（2）为条件，甲为结论，得到的命题为真命题，理由如下：
证明：由（a+b+c）（a+b-c）=3ab，变形得：
a²+b²+2ab-c²=3ab，即a²+b²-c²=ab，
则cosC==，又C为三角形的内角，
∴C=60°，
又sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=2cosBsinC，
即sinBcosC-cosBsinC=sin（B-C）=0，
∵-π＜B-C＜π，
∴B-C=0，即B=C，
则A=B=C=60°，
∴△ABC是等边三角形；
以（2）（4）作为条件，乙为结论，得到的命题为真命题，理由为：
证明：化简得：sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=2cosBsinC，
即sinBcosC-cosBsinC=sin（B-C）=0，
∵-π＜B-C＜π，
∴B-C=0，即B=C，
∴b=c，
由正弦定理===2R得：
sinA=，sinB=，sinC=，
代入得：
2R•（-）=（a-b）•，
整理得：a²-b²=ab-b²，即a²=ab，
∴a=b，
∴a²=2b²，又b²+c²=2b²，
∴a²=b²+c²，
∴∠A=90°，
则三角形为等腰直角三角形；
以（3）（4）作为条件，乙为结论，得到的命题为真命题，理由为：
证明：由正弦定理===2R得：
sinA=，sinB=，sinC=，
代入得：
2R•（-）=（a-b）•，
整理得：a²-b²=ab-b²，即a²=ab，
∴a=b，
∴a²=2b²，又b²+c²=2b²，
∴a²=b²+c²，
∴∠A=90°，
又b=acosC，c=acosB，
根据正弦定理得：sinB=sinAcosC，sinC=sinAcosB，
∴=，即sinBcosB=sinCcosC，
∴sin2B=sin2C，又B和C都为三角形的内角，
∴2B=2C，即B=C，
则三角形为等腰直角三角形．
故答案为：（1）（2）→甲 或 （2）（4）→乙 或 （3）（4）→乙
点评：此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，勾股定理，等边三角形的判定，等腰三角形的判定与性质，属于条件开放型题，是一类背景新、解题活、综合性强、无现成模式的题型．解答此类题需要运用观察、类比、猜测、归纳、推理等多种探索活动寻求解题策略．