Question

6．已知圆x²+（y-2）²=4，点A在直线x-y-2=0上，过A引圆的两条切线，切点为T₁，T₂，
（Ⅰ）若A点为（1，-1），求直线T₁T₂的方程；
（Ⅱ）求|AT₁|的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设出两切点坐标，根据圆的切线方程公式分别写出两条切线方程，然后把A点坐标代入后得到过两切点的直线方程即可；
（Ⅱ）求|AT₁|的最小值，求出圆心到直线的距离即可．

解答 解：（Ⅰ）设切点为T₁（x₁，y₁），T₂（x₂，y₂），
则AT₁的方程为x₁x+（y₁-2）（y-2）=4，AT₂的方程为x₂x+（y₂-2）（y-2）=4，
把A（1，-1）分别代入求得x₁-3（y₁-2）=4，x₂-3（y₂-2）=4
∴x-3（y-2）=4，化简得x-3y+2=0．
（Ⅱ）求|AT₁|的最小值，求出圆心到直线的距离即可．
∵圆心到直线的距离d=$\frac{|0-2-2|}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴|AT₁|的最小值=$\sqrt{（2\sqrt{2}）^{2}-4}$=2．

点评 此题考查了直线与圆的位置关系，考查圆的切线方程公式，涉及的知识有两点间的距离公式，点到直线的距离公式，圆的标准方程，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，常常利用此性质列出方程来解决问题．