Question

16．数列{a_n}的前n项和记为S_n，a₁=t，a_n+1=2S_n+1，n∈N^*．
（Ⅰ）当实数t为何值时，数列{a_n}是等比数列？
（Ⅱ）在（Ⅰ）的结论下，设b_n=log₃a_n+1：T_n是数列 {$\frac{1}{{b}_{n}•{b}_{n+1}}$} 前n项和，求T₂₀₁₁的值．

Answer 1

分析 （I）a_n+1=2S_n+1，n∈N^*．n≥2时，可得：a_n+1-a_n=2（S_n-S_n-1）=2a_n，化为a_n+1=3a_n．又a₂=2t+1，当2t+1=3t时，数列{a_n}是等比数列．
（II）由（I）可得：a_n=3^n-1，b_n=log₃a_n+1=n.$\frac{1}{{b}_{n}•{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（I）a₁=t，∵a_n+1=2S_n+1，n∈N^*．∴n≥2时，a_n=2S_n-1+1，可得：a_n+1-a_n=2（S_n-S_n-1）=2a_n，化为a_n+1=3a_n．
又a₂=2a₁+1=2t+1，当2t+1=3t，即t=1时，数列{a_n}是等比数列，首项为1，公比为3．
（II）由（I）可得：a_n=3^n-1，∴b_n=log₃a_n+1=n．
$\frac{1}{{b}_{n}•{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴数列 {$\frac{1}{{b}_{n}•{b}_{n+1}}$} 前n项和T_n=$（1-\frac{1}{2}）$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$，
∴T₂₀₁₁=$\frac{2011}{2012}$．

点评 本题考查了数列的递推关系、等比数列的定义通项公式、“裂项求和”方法、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．