Question

17、如图，四棱锥S?ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥面ABCD，且SA=AB，M、N分别为SB、SD中点，求证：
（1）DB∥平面AMN．
（2）SC⊥平面AMN．

Answer 1

分析：（1）由M，N分别为SB，SD的中点利用三角形的中位线的性质得MN∥BD，从而证得BD∥平面AMN
（2）要证SC⊥平面AMN，只需证SC垂直与该平面内的两条相交直线，由SA⊥平面ABCD易得SC⊥MN，由CD⊥AD，SA⊥CD得
CD⊥平面SAD故CD⊥AM又AN为等腰直角三角形SAD斜边中线，所以AN⊥SD即得AN⊥平面SCDAN⊥SC得SC⊥平面AMN．

解答：证：（1）∵M，N分别为SB，SD的中点
∴MN∥BD∵MN?面AMN，BD?面AMN
∴BD∥平面AMN
（2）∵SA⊥平面ABCD，AC⊥BD
∴SC⊥BD∴SC⊥MN
又∵CD⊥AD，SA⊥CD
∴CD⊥平面SAD，∴CD⊥AM
又AN为等腰直角三角形SAD斜边中线，所以AN⊥SD
∴AN⊥平面SCD∴AN⊥SC
∴SC⊥平面AMN．

点评：本题考查了线面平行与线面垂直的判定定理，考查了学生灵活应用条件的能力，是个中档题．