Question

（2012•江苏二模）已知数列{a_n}的前三项分别为a₁=5，a₂=6，a₃=8，且数列{a_n}的前n项和S_n满足Sn+m=

1

2

(S2n+S2m)-(n-m)2，其中m，n为任意正整数．
（1）求数列{a_n}的通项公式及前n项和S_n；
（2）求满足Sn2-

3

2

an+33=k2的所有正整数k，n．

Answer 1

分析：（1）在等式Sn+m=

1

2

(S2n+S2m)-(n-m)2中，分别令m=1，m=2，并相减，得an+2=2n-3+

S4-S2

2

，在等式Sn+m=

1

2

(S2n+S2m)-(n-m)2中，令n=1，m=2，得S3=

1

2

(S2+S4)-1，由此能够求出求数列{a_n}的通项公式及前n项和S_n．
（2）记Sn2-

3

2

an+33=k2，（*）n=1时，无正整数k满足等式（*）n≥2时，等式（*）即为（n²+3n+1）²-3（n-10）=k²，由此进行分类讨论，能求出满足Sn2-

3

2

an+33=k2的所有正整数k，n．

解答：解：（1）在等式Sn+m=

1

2

(S2n+S2m)-(n-m)2中，
分别令m=1，m=2，得
Sn+1=

1

2

(S2n+S2)-(n-1)2，①
Sn+2=

1

2

(S2n+S4)-(n-2)2，②
②-①，得an+2=2n-3+

S4-S2

2

，
在等式Sn+m=

1

2

(S2n+S2m)-(n-m)2中，
令n=1，m=2，得
S3=

1

2

(S2+S4)-1，
由题设知，S₂=11，S₃=19，
故S₄=29，
所以a_n+2=2n+6，（n∈N^*），
即a_n=2n+2，（n≥3，n∈N^*），
又a₂=6也适合上式，
故an=

5，n=1 2n+2，n≥2

，即Sn=n2+3n+1，n∈N*．
（2）记Sn2-

3

2

an+33=k2，（*）
n=1时，无正整数k满足等式（*）
n≥2时，等式（*）即为（n²+3n+1）²-3（n-10）=k²，
①当n=10时，k=131．
②当n＞10时，则k＜n²+3n+1，
∵k²-（n²+3n）²=2n²+3n+31＞0，
∴k＞n²+3n，
从而n²+3n＜k＜n²+3n+1，
∵n，k∈N^*，∴k不存在，从而无正整数k满足等式（*）．
③当n＜10时，则k＞n²+3n+1，
∵k∈N^*，∴k≥n²+3n+2，
从而（n²+3n+1）²-3（n-10）≥（n²+3n+2）²．
即2n²+9n-27≤0，
∵n∈N^*，∴n=1或2．
n=1时，k²=52，无正整数解；
n=2时，k²=145，无正整数解．
综上所述，满足等式（*）的n，k分别为n=10，k=131．

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，考查满足条件的正整数的求法．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意迭代法和分类讨论思想的灵活运用．