Question

在△ABC中，a、b、c分别为三内角A、B、C所对边的边长，且若是C=

π

3

，a+b=λc（其中λ＞1）
（1）若λ=

3

时，证明△ABC为Rt△
（2）若

AC

•

BC

=

9

8

λ2，且c=3，求λ的值．

Answer 1

分析：（1）将λ的已知等式得到a+b=

3

c，利用正弦定理化简，由C的度数得出A+B的度数，用B表示出A，代入化简得到结果中，利用两角和与差的正弦函数公式化简，求出B的度，即可确定三角形为直角三角形；
（2）利用平面向量的数量积运算法则化简已知等式，表示出ab，再利用余弦定理列出关系式，再由已知的等式，代入计算即可求出λ的值．

解答：解：（1）∵λ=

3

，
∴a+b=

3

c，
∵C=

π

3

，即sinC=

3

2

，
∴由正弦定理得sinA+sinB=

3

sinC=

3

2

，
∴sinA+sinB=sinB+sin（

2π

3

-B）=

3

2

sinB+

3

2

cosB-

1

2

sinB=

3

2

，
∴

3

2

sinB+

3

2

cosB=

3

2

，即sin（B+

π

6

）=

3

2

，
∴B+

π

6

=

π

3

或B+

π

6

=

2π

3

，即B=

π

6

或B=

π

2

，
若B=

π

6

，得到A=

π

2

，此时△ABC为Rt△；若B=

π

2

时，△ABC亦为Rt△；
（2）∵

AC

•

BC

=

1

2

ab=

9

8

λ²，∴ab=

9

4

λ²，
又∵a+b=3λ，
由余弧定理知a²+b²-c²=2ab•cosC，即a²+b²-ab=c²=9，
∴（a+b）²-3ab=9，即9λ²-

9

4

λ²=9，
解得：λ=2．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．