Question

设函数，.
（1）若曲线与在它们的交点处有相同的切线，求实数、的值；
（2）当时，若函数在区间内恰有两个零点，求实数的取值范围；
（3）当，时，求函数在区间上的最小值.

Answer 1

（1）；（2）；（3）.

解析试题分析：（1）从条件“曲线与在它们的交点处有相同的切线”得到以及，从而列有关、的二元方程组，从而求出与的值；（2）将代入函数的解析式，利用导数分析函数在区间上的单调性，确定函数在区间上是单峰函数后，然后对函数的端点值与峰值进行限制，列不等式组解出的取值范围；（3）将，代入函数的解析式，并求出函数的单调区间，对函数的极值点是否在区间内进行分类讨论，结合函数的单调性确定函数在区间上的最小值.
试题解析：（1）因为，，所以，.
因为曲线与在它们的交点处有相同切线，
所以，且，
即,且，解得，；
（2）当时，，
所以，
令，解得，，
当变化时，、的变化情况如下表：

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