某地区注重生态环境建设，每年用于改造生态环境总费用为
亿元，其中用于风景区改造为
亿元。该市决定建立生态环境改造投资方案，该方案要求同时具备下列三个条件：①每年用于风景区改造费用随每年改造生态环境总费用增加而增加；②每年改造生态环境总费用至少
亿元，至多
亿元；③每年用于风景区改造费用不得低于每年改造生态环境总费用的15%，但不得高于每年改造生态环境总费用的25%.
若
，
，请你分析能否采用函数模型y＝
作为生态环境改造投资方案.
能采用函数模型
作为生态环境改造投资方案.
解析试题分析：本题主要考查利用导数研究简单实际问题，考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性和最值问题，考查函数思想，考查综合分析和解决问题的能力和计算能力.对函数求导，判断导数恒大于0，所以得出函数是增函数满足条件①，构造新函数
，通过求导判断函数的单调性，由②可知
，所以判断
上函数的单调性和最值，最值符合③的要求，所以综上可得可以采用此函数模型.
试题解析：∵
，
∴函数是增函数，满足条件①，
设
，
则
，
令
，得
.
当
时，
，在
上是减函数，
当
时，
，在
上是增函数，
又
，即，在
上是减函数，在
上是增函数，
∴当时，有最小值为
，
当
时，
，
当
时，
，
∴能采用函数模型作为生态环境改造投资方案.
考点：1.利用导数判断函数的单调性；2. 利用导数求函数的最值.
名师点拨卷系列答案
英才计划期末调研系列答案科目：高中数学 来源： 题型：解答题
(14分）己知函数f (x)=ex，x
R
(1)求 f (x)的反函数图象上点(1,0)处的切线方程。
(2)证明：曲线y=f(x)与曲线y=
有唯一公共点；
(3)设
，比较
与
的大小，并说明理由。
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知函数
（k为常数，e=2.71828……是自然对数的底数），曲线
在点
处的切线与x轴平行。
（1）求k的值；
（2）求
的单调区间；
（3）设
，其中
为的导函数，证明：对任意
，
。
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
设函数
，
.
（1）若曲线
与
在它们的交点
处有相同的切线，求实数
、
的值；
（2）当
时，若函数
在区间
内恰有两个零点，求实数的取值范围；
（3）当
，
时，求函数在区间
上的最小值.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知函数
，
（
为常数）
（1）当
时
恒成立，求实数的取值范围；
（2）若函数
有对称中心为A（1，0），求证：函数
的切线
在切点处穿过图象的充要条件是恰为函数在点A处的切线．（直线穿过曲线是指：直线与曲线有交点，且在交点左右附近曲线在直线异侧）
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知函数
(I)当a=1时,求函数f(x)的最小值;
(II)当a≤0时,讨论函数f(x)的单调性;
(III)是否存在实数a,对任意的x1,x2
(0,+∞),且x1≠x2,都有
恒成立.若存在,求出a的取值范围;若不存在,说明理由.
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.
，求
在点
处的切线方程；
。
时，函数
取得极值，求函数
处的切线方程；
内不单调，求实数
的取值范围。
.
在
处的切线方程；
的单调区间；
，求证：
.