Question

设同时满足条件：①

bn+bn+2

2

≤bn+1（n∈N^*）；②b_n≤M（n∈N*，M是与n无关的常数）的无穷数列{b_n} 叫“特界”数列．
（Ⅰ）若数列{a_n} 为等差数列，S_n是其前n项和，a₃=4，S₃=18，求S_n；
（Ⅱ）判断（Ⅰ）中的数列{S_n}是否为“特界”数列，并说明理由．

Answer 1

分析：（I）利用等差数列的通项个数及前n项和个数将，a₃=4，S₃=18用a₁+2d=4，3a₁+3d=18表示，列出方程组求出a₁=8，d=2，利用前n项和公式求出S_n；
（II）利用“特界”数列的定义，求出

Sn+Sn+2

2

-Sn+1的值，判断出其符号，据新定义数列{S_n}是“特界”数列．

解答：解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为，
a₁+2d=4，3a₁+3d=18，…（2分）
解得a₁=8，d=-2…（4分）
Sn=na1+

n(n-1)

2

d=-n2+9n…（6分）
（Ⅱ）由

Sn+ Sn+2

2

-Sn+1=

(Sn+2-Sn+1)-(Sn+1- Sn)

2

=

an+2- an+1

2

=

d

2

=-1＜0
得

Sn+Sn+2

2

＜Sn+1，
故数列数列{S_n}适合条件①…（9分）
Sn=-n2+9n=-(n-

9

2

)2+

81

4

，
则当n=4或n=5时，S_n有最大值20
即S_n≤20，故数列{S_n}适合条件②．
综上，故数列{S_n}是“特界”数列．…（12分）

点评：解决等差数列、等比数列的有关问题，一般利用通项公式、前n项公式列出方程组，求出基本量再解决．