Question

2条直线将一个平面最多分成4部分，3条直线将一个平面最多分成7部分，4条直线将一个平面最多分成11部分，…；4=C₂⁰+C₂¹+C₂²，7=C₃⁰+C₃¹+C₃²，11=C₄⁰+C₄¹+C₄²；…．
（1）n条直线将一个平面最多分成多少个部分（n＞1）？证明你的结论；
（2）n个平面最多将空间分割成多少个部分（n＞2）？证明你的结论．

Answer 1

解：（1）n条直线将一个平面最多分成C_n⁰+C_n¹+C_n²个部分（n＞1）．
证明：用数学归纳法证明：
①2条直线将一个平面最多分成4部分，4=C₂⁰+C₂¹+C₂²，结论成立．
②假设k条直线把一个平面最多分成C_k⁰+C_k¹+C_k²个部分（k＞1），
则k+1条直线把一个平面最多分成：
C_k⁰+C_k¹+C_k²+（k+1）
=1+k+
=1+（k+1）+
=C_k+1⁰+C_k+1^k+C_k+1²，
结论也成立，
由①②知，n条直线将一个平面最多分成C_n⁰+C_n¹+C_n²个部分（n＞1）．
（2）n个平面最多将空间分割成C_n⁰+C_n¹+C_n²+C_n³个部分（n＞2）．
证明：设n个r-1维空间可将r维空间最多分成S（n，r）个部分，
则只需证明S（n，r）=C_n⁰+C_n¹+…+C_n^r，这里n∈N*，r∈{1，2，3}，且若i＞n，i∈N^*，定义C_nⁱ=0．
在这里，我们对r和n用双重数学归纳法：
当r=1时，n个点把直线分成1+n个部分，
所以，S（n，1）=1+n=C_n⁰+C_n¹，结论成立．
假设当r=k时，S（n，k）=C_n⁰+C_n¹+…C_n^k，
则当r=k+1时，
易知S（1，k+1）=2，
又假设当n=j时，S（j，k+1）=C_j⁰+C_j¹+…C_j^k+1，
则当n=j+1时，第j+1个k维，
空间必与前面的j个k维空间产生j个k-1维空间的交集，
而由假设知，这j个k-1维空间把第j+1个k维空间最多分成S（j，k）=C_j⁰+C_j¹+…C_j^k个部分，
且每一部分将原有的k+1维空间分成两个部分，
所以S（j+1，k+1）=S（j，k+1）+S（j，k）
=（C_j⁰+C_j¹+…C_j^k+1）+（C_j⁰+C_j¹+…C_j^k）
=C_j+1⁰+（C_j¹+C_j⁰）+（C_j²+C_j¹）+…+（C_j^k+1+C_j^k）
=C_j+1⁰+C_j+1¹+…+C_j+1^k+1．
因此，当r=k+1时，对n∈N^*，结论成立．
由数学归纳法原理可知，对n∈N*，r∈{1，2，3}，结论得到了证明．
分析：（1）n条直线将一个平面最多分成C_n⁰+C_n¹+C_n²个部分（n＞1）．
用数学归纳法证明：①2条直线将一个平面最多分成4部分，4=C₂⁰+C₂¹+C₂²，结论成立．②假设k条直线把一个平面最多分成C_k⁰+C_k¹+C_k²个部分（k＞1），则k+1条直线把一个平面最多分成：C_k⁰+C_k¹+C_k²+（k+1）=1+k+=C_k+1⁰+C_k+1^k+C_k+1²，结论也成立，由①②知，n条直线将一个平面最多分成C_n⁰+C_n¹+C_n²个部分（n＞1）．
（2）n个平面最多将空间分割成C_n⁰+C_n¹+C_n²+C_n³个部分（n＞2）．
用数学归纳法证明：设n个r-1维空间可将r维空间最多分成S（n，r）个部分，则只需证明S（n，r）=C_n⁰+C_n¹+…+C_n^r，在这里，我们对r和n用双重数学归纳法能够得到结论．
点评：本题考查归纳推理的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意组合数公式和数学归纳法的灵活运用．