Question

如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD．SD=2，AD=

2

，E是SD上的点．
（Ⅰ）求证：AC⊥BE；
（Ⅱ）求二面角C-AS-D的余弦值．

Answer 1

分析：法一（Ⅰ）连接BD，证明AC垂直平面BDS内的两条相交直线SD，BD，即可证明AC⊥平面BDS，从而证明AC⊥BE；
（Ⅱ）过点D在平面SAD内作DF⊥AS于F，连接CF．说明∠CFD是二面角C-AS-D的平面角，通过解三角形CFD求二面角C-AS-D的余弦值．
法二：以D为原点建立空间直角坐标系D-xyz．
（Ⅰ）求出

AC

，

BE

，计算

AC

•

BE

=0，即可证明AC⊥BE；
（Ⅱ）求平面ACS的法向量为

n

，平面ASD的一个法向量为

DC

，计算cosθ=

n • DC

| n || DC |

=

10

5

，求出二面角C-AS-D的余弦值．

解答：解：法一（Ⅰ）连接BD．因为底面ABCD是正方形，
所以AC⊥BD．因为SD⊥平面ABCD，
AC?平面ABCD，所以AC⊥SD． （2分）
又因为SD∩BD=D，所以AC⊥平面BDS． （4分）
因为BE?平面BDS，所以AC⊥BE． （6分）

（Ⅱ）因为SD⊥平面ABCD，所以SD⊥CD．
因为底面ABCD是正方形，所以AD⊥CD．
又因为SD∩AD=D，所以CD⊥平面SAD，
所以CD⊥AS． （8分）
过点D在平面SAD内作DF⊥AS于F，连接CF．
由于，DF∩CD=D，所以AS⊥平面DCF．所以AS⊥CF．
故∠CFD是二面角C-AS-D的平面角． （10分）
在Rt△ADS中，SD=2，AD=

2

，可求得DF=

2

3

3

．
在Rt△CFD中，DF=

2

3

3

，CD=

2

，可求得CF=

30

3

．
所以cosCFD=

DF

CF

=

10

5

．即二面角C-AS-D的余弦值为

10

5

．（12分）

法二：（Ⅰ）如图以D为原点建立空间直角坐标系D-xyz．
则D（0，0，0），A（

2

，0，0），B（

2

，

2

，0），
C（0，

2

，0），E（0，0，

2

），S（0，0，2），

AC

=(-

2

，

2

，0)，

BE

=(-

2

，-

2

，

2

)． （3分）

AC

•

BE

=2-2+0=0，所以

AC

⊥

BE

．即AC⊥BE． （6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）得

SA

=（

2

，0，-2），

SC

=（0，

2

，-2）．
设平面ACS的法向量为

n

=（x，y，z），
则由n⊥

SA

，n⊥

SC

得

n • SA =0 n • SC =0

，即

2 x-2z=0 2 y-2z=0

取z=

2

，得

n

=(2，2，

2

)． （9分）
易知平面ASD的一个法向量为

DC

=（0，

2

，0）．
设二面角C-AS-D的平面角为θ．则cosθ=

n • DC

| n || DC |

=

10

5

．
即二面角C-AS-D的余弦值为

10

5

． （12分）

点评：本题考查点、线、面间的距离计算，直线与平面垂直的判定，直线与平面垂直的性质，考查空间想象能力，逻辑思维能力，利用空间直角坐标系，解答立体几何问题，可以说是有一定的规律，要求比较高，不允许出错．