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将边长为米的一块正方形铁皮的四角各截去一个大小相同的小正方形,然后将四边折起做成一个无盖的方盒.欲使所得的方盒有最大容积,截去的小正方形的边长应为多少米?方盒的最大容积为多少?

V()=, 即为容积的最大值,此时小正方形的边长为

解析试题分析:设小正方形的边长为x,则盒底的边长为a-2x,
∴方盒的体积               4分
                   10分
∴函数V在点x=处取得极大值,由于问题的最大值存在,
∴V()=, 即为容积的最大值,此时小正方形的边长为.            12分
考点:函数模型,应用导数研究函数的最值。
点评:中档题,作为应用问题,往往涉及确定函数的最值。求最值的方法有,不等式法、导数法等。实际问题中,当驻点个数只有一个时,其既是极值点也是最值点。

练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况,在一般情况下,大桥上的车流速度v(单位:千米/小时)是车流密度(单位:辆/千米)的函数,当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车速度为0;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米,/小时,研究表明:当时,车流速度v是车流密度的一次函数.
(Ⅰ)当时,求函数的表达式;
(Ⅱ)当车流密度为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/小时) 可以达到最大,并求出最大值.(精确到1辆/小时)

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据行业协会预测:某公司以每吨10万元的价格销售某种化工产品,可售出该产品1000 吨,若将该产品每吨的价格上涨%,则销售量将减少%,且该化工产品每吨的价格上涨幅度不超过%,其中为正常数 
(1)当时,该产品每吨的价格上涨百分之几,可使销售的总金额最大?
(2)如果涨价能使销售总金额比原销售总金额多,求的取值范围.

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周长为20cm的矩形,绕一条边旋转成一个圆柱,则圆柱体积的最大值为多少?

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已知函数处取得极小值.
(1)求的值;
(2)若处的切线方程为,求证:当时,曲线不可能在直线的下方.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

某造船公司年造船量是20艘,已知造船x艘的产值函数为R(x)=3700x+45x2-10x3(单位:万元),成本函数为C(x)=460x+5000(单位:万元),又在经济学中,函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)=f(x+1)-f(x).
(1)求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x);(提示:利润=产值-成本)
(2)问年造船量安排多少艘时,可使公司造船的年利润最大?

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提高大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.一般情况下,大桥上的车流速度v(单位:千米/小时)是车流密度x(单位:辆/千米)的函数.当车流密度不超过50辆/千米时,车流速度为30千米/小时.研究表明:当50<x≤200时,车流速度v与车流密度x满足,当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0千米/小时.
(Ⅰ) 当0<x≤200时,求函数v(x)的表达式;
(Ⅱ) 当车流密度x为多大时,车流量(单位时间内通过桥上观测点的车辆数,单位:辆/小时)f(x)=x·v(x)可以达到最大,并求出最大值.(精确到个位,参考数据

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知二次函数,及函数
关于的不等式的解集为,其中为正常数。
(1)求的值;
(2)R如何取值时,函数存在极值点,并求出极值点;
(3)若,且,求证: 

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已知函数为常数,),且数列是首项为,公差为的等差数列.
(1) 若,当时,求数列的前项和;                      
(2)设,如果中的每一项恒小于它后面的项,求的取值范围.

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