Question

已知直线l交椭圆

x2

20

+

y2

16

=1于M、N两点，椭圆与y轴的正半轴交于B点，若△MBN的重心恰好落在椭圆的右焦点上，则直线l方程为

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：利用重心坐标公式求出弦MN的中点，利用点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）在椭圆上，利用点差法，求出斜率，即可求出直线l方程．

解答： 解：设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
又B（0，4），F（2，0），由重心坐标得

0+x1+x2

3

=2，

4+y1+y2

3

=0
所以弦MN的中点为（3，-2）．
因为点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）在椭圆上，所以

4x12+5y12=80 4x22+5y22=80

，作差得4（x₁+x₂）（x₁-x₂）+5（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
将①和②代入得k=

y1-y2

x1-x2

=

6

5

，
所以，直线l为：y+2=

6

5

（x-3），即6x-5y-28=0．
故答案为：6x-5y-28=0．

点评：本题考查直线l方程，考查点差法，考查重心坐标公式，属于中档题．