Question

在△ABC中，角所对的边分别为，且∥
（Ⅰ）求的值
（Ⅱ）求三角函数式的取值范围

Answer 1

(Ⅰ) ；（Ⅱ）三角函数式的取值范围为（-1，]．

试题分析：（I）求的值，可考虑利用正弦定理，也可利用面积公式，但本题由已知且∥，可根据向量平行的充要条件列式：，结合正弦定理与正弦的诱导公式，两角和的正弦公式化简整理，化简可得，可得，从而得到的值；（II）求三角函数式的取值范围，将三角函数式用二倍角的余弦公式结合“切化弦”，化简整理得，再根据算出的范围，得到的取值范围，最终得到原三角函数式的取值范围．
试题解析：(Ⅰ)∵且∥，∴
由正弦定理得2sinAcosC=2sinB-sinC， 又sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC，∴sinC=cosAsinC
∵sinC≠0   ∴cosA=，
又∵0<A<p,  ∴A=，    ∴
(Ⅱ)原式=+1=1-=1-2cos²C+2sinCcosC=sin2C-cos2C=
∵0<C<p   ∴<2C-<， ∴< sin(2C-)≤1
∴-1<sin(2C-)≤，  即三角函数式的取值范围为（-1，]