Question

6．设函数f（x）=（x-1）²e^x．
（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）求f（x）的单调区间和极值．

Answer 1

分析 （1）先求出函数f（x）的导数，求出其在x=0处的斜率，从而求出切线方程；（2）解关于导函数的不等式，得到函数的单调区间，从而求出函数的极值．

解答 解：（1）∵f（0）=1，∴切点为（0，1），
∵f′（x）=2（x-1）e^x+（x-1）²e^x
=e^x（x²-1），
∴f′（0）=-1，
∴切线方程是y-1=-x，即：x+y-1=0；
（2）由f′（x）=e^x（x²-1），
令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜-1，
令f′（x）＜0，解得：-1＜x＜1，
∴函数f（x）在（-∞，-1），（1，+∞）单调递增，在（-1，1）单调递减，
∴f（x）_极大值=f（-1）=$\frac{2}{e}$，f（x）_极小值=f（1）=0．

点评 本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．