Question

16．已知函数f（x）=x³+ax²-a²x+1（a位常数，且a＞0）有极大值9．
（1）求a的值；
（2）若函数f（x）在区间[m，m+1]上单调递增，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出函数f（x）的导数，得到函数的单调区间，求出当x=-a时，函数f（x）取得极大值9，进而求出a的值；
（Ⅱ）先求出函数的单调区间，结合函数f（x）在区间[m，m+1]上单调递增，得到不等式组，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=3x²+2ax-a²=（x+a）（3x-a），
令f′（x）=0，则x=-a或$x=\frac{a}{3}$，
当x变化时，f′（x）与f（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，-a）	-a	$（-a，\frac{a}{3}）$	$\frac{a}{3}$	（$（\frac{a}{3}，+∞）$
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

所以当x=-a时，函数f（x）取得极大值9，
即f（-a）=-a³+a³+a³+1=9，
所以a=2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：函数f（x）在（-∞，-2]，$[\frac{2}{3}，+∞）$上单调递增；
在$[-2，\frac{2}{3}]$上单调递减；
因为函数f（x）在区间[m，m+1]上单调递增
所以m+1≤-2或$m≥\frac{2}{3}$，
解得：m≤-3或$m≥\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．