Question

11．已知{a_n}是公差不为零的等差数列，a₁=1，且a₂，a₅，a₁₄成等比数列．求：
（1）数列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n项和S_n；
（2）数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{{a}_{n}}}$}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）运用等比数列的性质和等差数列的通项公式，计算即可得到{a_n}的通项，再由裂项相消求和，计算即可得到前n项和S_n；
（2）求得数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{{a}_{n}}}$}的通项，再由错位相减法，计算即可得到前n项和T_n．

解答 解：（1）{a_n}是公差d不为零的等差数列，
a₂，a₅，a₁₄成等比数列，则a₂a₁₄=a₅²，
即有（a₁+d）（a₁+13d）=（a₁+4d）²，
化简可得d=2a₁=2，
a_n=1+2（n-1）=2n-1，
$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
前n项和S_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}-$$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{n}{2n+1}$；
（2）数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{{a}_{n}}}$}的通项为$\frac{2n-1}{{2}^{2n-1}}$，
前n项和T_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+$\frac{5}{{2}^{5}}$+…+$\frac{2n-3}{{2}^{2n-3}}$+$\frac{2n-1}{{2}^{2n-1}}$，
$\frac{1}{4}$T_n=$\frac{1}{{2}^{3}}$+$\frac{3}{{2}^{5}}$+$\frac{5}{{2}^{7}}$+…+$\frac{2n-3}{{2}^{2n-1}}$+$\frac{2n-1}{{2}^{2n+1}}$，
两式相减可得，$\frac{3}{4}$T_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{{2}^{3}}$+$\frac{2}{{2}^{5}}$+$\frac{2}{{2}^{7}}$+…+$\frac{2}{{2}^{2n-1}}$-$\frac{2n-1}{{2}^{2n+1}}$
=$\frac{1}{2}+$2•$\frac{\frac{1}{8}（1-\frac{1}{{4}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{4}}$-$\frac{2n-1}{{2}^{2n+1}}$，
化简可得T_n=$\frac{10}{9}$-$\frac{10+12n}{9•{4}^{n}}$．

点评 本题考查等差数列的通项公式的运用和等比数列的性质，同时考查数列的求和方法：裂项相消求和和错位相减法求和，属于中档题和易错题．