Question

15．某师范大学地理学院决定从n位优秀毕业生（包括x位女学生，3位男学生）中选派2位学生到某贫困山区的一所中学担任第三批顶岗实习教师，每一位学生被选派的机会是相同的．
（1）若选派的2位学生中恰有1位女学生的概率为$\frac{3}{5}$，试求出n与x的值；
（2）在（1）的条件下，记X为选派的2位学生中女学生的人数，写出X的分布列．

Answer 1

分析 （1）分类判断总方法：${C}_{n}^{2}$=$\frac{n（n-1）}{2}$，2位学生中恰有1位女学生的方法数为C${\;}_{n-3}^{1}$C${\;}_{3}^{1}$，运用概率公式求解n即可．判断得出两种类型$\left\{\begin{array}{l}{n=5}\\{x=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{n=6}\\{x=3}\end{array}\right.$，
（2）X为选派的2位学生中女学生的人数，得出X可能的取值为0，1，2，分别求解概率，列出分布列即可．

解答 解：（1）若选派的2位学生中恰有1位女学生的概率为$\frac{3}{5}$，而从n位优秀毕业生中选派2位学生担任第三批顶岗实习教师的总方法：${C}_{n}^{2}$=$\frac{n（n-1）}{2}$，2位学生中恰有1位女学生的方法数为C${\;}_{n-3}^{1}$C${\;}_{3}^{1}$=（n-3）×3．
依题意可得：$\frac{3（n-3）}{\frac{n（n-1）}{2}}$=$\frac{3}{5}$，
化简得n²-11n+30=0，解得n₁=5，n₂=6．
当n=5时，x=5-3=2；当n=6时，x=6-3=3．
故（2）当$\left\{\begin{array}{l}{n=5}\\{x=2}\end{array}\right.$时，X可能的取值为0，1，2，
X=0表示只选派2位男生，这时P（X=0）=$\frac{{{C}_{2}^{0}C}_{3}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{3}{10}$，
X=1表示选派1位男生与1位女生，这时P（X=1）=$\frac{{{C}_{2}^{1}C}_{3}^{1}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{3}{5}$，
X=2表示只选派2位女生，这时P（X=2）=$\frac{{{C}_{2}^{2}C}_{3}^{0}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{1}{10}$．
X的分布列为

X	0	1	2
P	$\frac{3}{10}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{10}$

当$\left\{\begin{array}{l}{n=6}\\{x=3}\end{array}\right.$时，X可能的取值为0，1，2X=0表示只选派2位男生，这时P（X=0）=$\frac{{{C}_{3}^{2}C}_{3}^{0}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{5}$，
X=1表示选派1位男生与1位女生，这时P（X=1）=$\frac{{{C}_{3}^{1}C}_{3}^{1}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{3}{5}$，
X=2表示只选派2位女生，这时P（X=2）=$\frac{{{C}_{3}^{0}C}_{3}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{1}{5}$．
X的分布列为

X	0	1	2
P	$\frac{1}{5}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{5}$

点评 本题考察了概率在实际问题中的应用，分类讨论，考察了学生的阅读能力，计算化简能力，属于中档题．