Question

10．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°．
（1）求证：BD⊥平面PAC；
（2）若PA=AB，求PB与平面PAC所成角的余弦值；
（3）若PA=4，求平面PBC与平面PDC所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由BD⊥AC，BD⊥PA，根据直线与平面垂直的判定定理即可得证；
（2）令BD∩AC=O，连接PO，由（1）可得∠BPO即为PB与面PAC所成的角，利用cos∠BPO=$\frac{PO}{PB}$即可得解．
（3）如图，以O为原点，OB，OC所在直线分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系，设平面PBC的法向量为$\overrightarrow{{n}_{1}}$，平面PCD的法向量为$\overrightarrow{{n}_{2}}$，由cos＜$\overrightarrow{{n}_{1}}$，$\overrightarrow{{n}_{2}}$＞=|$\frac{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}}{|\overrightarrow{{n}_{1}}||\overrightarrow{{n}_{2}}|}$|即可得解．

解答 （本题12分）
解：（1）证明：
$\begin{array}{l}BD⊥AC---------------1'\\ BD⊥PA---------------1'\\ PA∩AC=A---------------1'\\∴BD⊥面PAC\end{array}$
（2）解：
$\begin{array}{l}令BD∩AC=O，连PO---------------1'\\∠BPO即为PB与面PAC所成角---------------1'\\ cos∠BPO=\frac{{\sqrt{14}}}{4}---------------2'\end{array}$
（3）解：
$\begin{array}{l}建系：以O为原点，OB，OC所在直线分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系---------------1'\\ 设面PBC的法向量\overrightarrow{n_1}，面PDC的法向量\overrightarrow{n_2}，\\ \overrightarrow{n_1}=（\sqrt{3}，1，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）---------------1'\\ \overrightarrow{n_2}=（-\sqrt{3}，1，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）---------------1'\\ cos＜\overrightarrow{n_1}，\overrightarrow{n_2}＞=-\frac{5}{19}∵二面角所成角为锐角\\∴平面PBC与平面PDC所成角的余弦值为\frac{5}{19}---------------2'\end{array}$

点评 本题主要考查了直线与平面垂直的判定，二面角的平面角及求法，考查了空间想象能力和推理论证能力，考查了数形结合的思想和转化思想，属于基本知识的考查．