Question

2．已知a，b均为实数，log_b（3a-1）为正数，点（b，a）在圆（x-$\frac{1}{2}$）²+（y+$\frac{1}{3}$）²=c²上，其中c＞0，则c的取值范围是（$\frac{2}{3}$，$\frac{\sqrt{5}}{2}$）∪（$\frac{\sqrt{5}}{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 log_b（3a-1）为正数，即有b＞1，且3a-1＞1，即a＞$\frac{2}{3}$；或0＜b＜1且0＜3a-1＜1，即$\frac{1}{3}$＜a＜$\frac{2}{3}$．圆（x-$\frac{1}{2}$）²+（y+$\frac{1}{3}$）²=c²上的圆心为P（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{3}$），半径为c，以（b，a）为直角坐标，作出不等式表示的平面区域，通过圆的半径的变化，即可得到所求范围．

解答 解：log_b（3a-1）为正数，即有
b＞1，且3a-1＞1，即a＞$\frac{2}{3}$；
或0＜b＜1且0＜3a-1＜1，即$\frac{1}{3}$＜a＜$\frac{2}{3}$．
圆（x-$\frac{1}{2}$）²+（y+$\frac{1}{3}$）²=c²上的圆心为P（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{3}$），半径为c，
以（b，a）为直角坐标，不等式$\left\{\begin{array}{l}{b＞1}\\{a＞\frac{2}{3}}\end{array}\right.$和$\left\{\begin{array}{l}{0＜b＜1}\\{\frac{1}{3}＜a＜\frac{2}{3}}\end{array}\right.$表示的区域如图中斜线部分（不含边界），
则以P为圆心，画圆，观察可得$\frac{2}{3}$＜c＜$\sqrt{（1-\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{2}{3}+\frac{1}{3}）^{2}}$即为$\frac{2}{3}$＜c＜$\frac{\sqrt{5}}{2}$；或c＞$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故答案为：（$\frac{2}{3}$，$\frac{\sqrt{5}}{2}$）∪（$\frac{\sqrt{5}}{2}$，+∞）．

点评 本题考查对数函数的定义域，同时考查不等式表示的平面区域的运用，考查数形结合的思想方法，属于中档题．