Question

11．数列{a_n}是前n项和S_n=2ⁿ⁺¹-2，正项数列{b_n}中，b_n²-（n-1）b_n-2（n+1）=0（n∈N^*）．
（1）求a₂+a₄+a₆+…+a_2n+2的和；
（2）令c_n=$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$，若数列{c_n}的前n项和为T_n，求出T_n的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据数列的递推关系求出数列的通项公式，结合等比数列的通项公式即可求a₂+a₄+a₆+…+a_2n+2的和；
（2）求出数列{c_n}的通项公式，利用错位相减法进行求解即可．

解答 解：（1）∵S_n=2ⁿ⁺¹-2，
∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ⁺¹-2-2ⁿ+2=2ⁿ⁺¹-2ⁿ=2ⁿ，
当n=1时，a₁=2²-2=4-2=2，满足a_n=2ⁿ，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=2ⁿ，
则a_2n=2²ⁿ=4ⁿ，
则数列{a_2n}是公比q=4的等比数列，
则a₂+a₄+a₆+…+a_2n+2=$\frac{4（1-{4}^{n+1}）}{1-4}$=$\frac{4}{3}$（4ⁿ⁺¹-1）；
（2）∵b_n²-（n-1）b_n-2（n+1）=0，
∴（b_n+2）[b_n-（n+1）]=0，
∵正项数列{b_n}中，b_n＞0，
∴b_n-（n+1）=0，
即b_n=n+1，
则c_n=$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{n+1}{{2}^{n}}$，
则T_n=$\frac{2}{{2}^{1}}$+$\frac{3}{{2}^{2}}$+$\frac{4}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n-1}}$+$\frac{n+1}{{2}^{n}}$，
则$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+$\frac{4}{{2}^{4}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$+$\frac{n+1}{{2}^{n+1}}$，
两式作差得$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{2}{{2}^{1}}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-$\frac{n+1}{{2}^{n}}$=$\frac{2}{{2}^{1}}$+$\frac{\frac{1}{{2}^{2}}（1-\frac{1}{{2}^{n-2}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n+1}{{2}^{n}}$=1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-$\frac{n+1}{{2}^{n}}$
=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-$\frac{n+1}{{2}^{n}}$．

点评 本题主要考查递推数列的应用，以及数列求和，求出数列的通项公式，利用公式法或错位相减法是解决本题的关键．