Question

16．（1）已知m＞n＞0，p＞0，证明：$\frac{n}{m}＜\frac{n+p}{m+p}$；
（2）△ABC中，证明：$\frac{sinC}{sinA+sinB}+\frac{sinA}{sinB+sinC}+\frac{sinB}{sinC+sinA}＜2$．

Answer 1

分析 （1）利用作差法，即可证明结论；
（2）利用正弦定理，证明$\frac{c}{a+b}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}＜2$即可利用（1）的结论，即可证明．

解答 证明：（1）∵m＞n＞0，p＞0，$左-右=\frac{（n-m）p}{m（m+p）}＜0$，
∴$\frac{n}{m}＜\frac{n+p}{m+p}$；
（2）利用正弦定理，证明$\frac{c}{a+b}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}＜2$即可．
由（1）得：$\frac{c}{a+b}$＜$\frac{2c}{a+b+c}$，$\frac{a}{b+c}$＜$\frac{2a}{a+b+c}$，$\frac{b}{c+a}$＜$\frac{2b}{c+a+b}$，
三式相加可得$\frac{c}{a+b}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}＜2$，
∴$\frac{sinC}{sinA+sinB}+\frac{sinA}{sinB+sinC}+\frac{sinB}{sinC+sinA}＜2$．

点评 本题考查不等式的证明，考查作差法的运用，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．