Question

6．在等比数列{a_n}中，已知a₂=2，a₅=16．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}是首项为1，公差为1的等差数列，求数列{a_n+b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由等比数列的通项公式求出求出a₁和公比q，代入通项公式求出a_n；
（2）由等差数列的通项公式求出b_n，再代入a_n+b_n化简，利用等差、等比数列的前n项和公式和分组求和法，求出数列{a_n+b_n}的前n项和T_n．

解答 解：（1）设等比数列{a_n}的公比是q，
∵a₂=2，a₅=16，∴${q}^{3}=\frac{{a}_{5}}{{a}_{2}}$=8，则q=2，
∴a₁=$\frac{{a}_{2}}{q}$=1，则a_n=2^n-1；
（2）∵数列{b_n}是首项为1，公差为1的等差数列，
∴b_n=1+（n-1）×1=n，则a_n+b_n=2^n-1+n，
∴数列{a_n+b_n}的前n项和T_n=（1+2+2²+…+2^n-1）+（1+2+3+…+n）
=$\frac{1{-2}^{n}}{1-2}$$+\frac{n（1+n）}{2}$=${2}^{n}+\frac{（n-1）（n+2）}{2}$．

点评 本题考查等差、等比数列的通项公式，以及前n项和公式，以及分组求和法的应用，属于中档题．