Question

18．已知函数f（x）是偶函数，且x≥0时，f（x）=x²-2x+3，试求f（x）在R上的表达式，并画出图象，根据图象写出它的单调区间．

Answer 1

分析 设x＜0则-x＞0，利用已知的解析式和偶函数的性质求出x＜0时的解析式，用分段函数的形式表示出来，根据二次函数的图象画出f（x）的图象，由图象求出f（x）的单调区间．

解答 解：设x＜0，则-x＞0，
∵x≥0时，f（x）=x²-2x+3，∴f（-x）=x²+2x+3，
∵函数f（x）是偶函数，∴f（x）=f（-x）=x²+2x+3，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x+3，x≥0}\\{{x}^{2}+2x+3，x＜0}\end{array}\right.$，
由二次函数的图象画出此函数的图象：
由图可得：函数f（x）的增区间是（-1，0）、（1，+∞），
减区间是（-∞，-1）、（0，1）．

点评 本题考查利用函数的奇偶性求函数的解析式，二次函数的图象，以及分段函数的单调性，属于基础题．