Question

7．已知A，B为椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的左右顶点，P为椭圆上异于A，B的任意一点，直线AP，BP分别交椭圆的直线l：x=4于点M，N，则$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{BN}$的值为（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． 3
• C． 3$\sqrt{3}$
• D． 9

Answer 1

分析 由题意作出辅助图象，设点P（2cosθ，$\sqrt{3}$sinθ）（sinθ≠0），M（4，y₁），N（4，y₂）；从而求得$\overrightarrow{AM}$=（6，$\frac{6\sqrt{3}sinθ}{2cosθ+2}$）；$\overrightarrow{BN}$=（2，$\frac{2\sqrt{3}sinθ}{2cosθ-2}$）；从而解得．

解答 解：由题意作图如下，

设点P（2cosθ，$\sqrt{3}$sinθ）（sinθ≠0），M（4，y₁），N（4，y₂）；
$\frac{\sqrt{3}sinθ-0}{2cosθ+2}$=$\frac{{y}_{1}-0}{4+2}$，$\frac{\sqrt{3}sinθ-0}{2cosθ-2}$=$\frac{{y}_{2}-0}{4-2}$；
故y₁=$\frac{6\sqrt{3}sinθ}{2cosθ+2}$，y₂=$\frac{2\sqrt{3}sinθ}{2cosθ-2}$；
$\overrightarrow{AM}$=（6，$\frac{6\sqrt{3}sinθ}{2cosθ+2}$）；$\overrightarrow{BN}$=（2，$\frac{2\sqrt{3}sinθ}{2cosθ-2}$）；
$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{BN}$=12+$\frac{6\sqrt{3}sinθ}{2cosθ+2}$•$\frac{2\sqrt{3}sinθ}{2cosθ-2}$
=12+$\frac{12×3×si{n}^{2}θ}{-4si{n}^{2}θ}$=12-9=3；
故选：B．

点评 本题考查了椭圆的性质的应用及平面向量的应用，属于中档题．