Question

16．如图所示，A（m，$\sqrt{3}$m）和B（n，-$\sqrt{3}$n）两点分别在射线OS，OT（点S，T分别在第一，四象限）上移动，且$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-$\frac{1}{2}$，O为坐标原点，动点P满足$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$．
（Ⅰ） 求mn的值；
（Ⅱ） 求动点P的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．

Answer 1

分析 （I）由向量数量积$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-$\frac{1}{2}$的坐标运算即可求得m•n的值；
（II）欲求P点的轨迹C的方程，设点P（x，y），只须求出其坐标x，y的关系式即可，由题意向量关系将x，y用m，n表示，最后消去m，n得到一个关系式，即得点P的轨迹方程．

解答 解：（Ⅰ）由题，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=（m，\sqrt{3}m）•（n，-\sqrt{3}n）=-2mn=-\frac{1}{2}$．
所以$mn=\frac{1}{4}$．（4分）
（Ⅱ）设P（x，y）（x＞0），由$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$，得：$（x，y）=（m，\sqrt{3}m）+（n，-\sqrt{3}n）=（m+n，\sqrt{3}m-\sqrt{3}n）$，（6分）
令$\left\{\begin{array}{l}x=m+n\\ y=\sqrt{3}m-\sqrt{3}n\end{array}\right.$则${x^2}-\frac{y^2}{3}=4mn$，（8分）
又$mn=\frac{1}{4}$，所以，动点P的轨迹方程为${x^2}-\frac{y^2}{3}=1（x＞0）$．（10分）
表示以原点为中心，焦点在x轴上，实轴长为2，焦距为4的双曲线${x^2}-\frac{y^2}{3}=1$右支．（12分）

点评 本小题主要考查曲线与方程，直线和圆锥曲线等基础知识，以及求直线方程的基本技能和综合运用数学知识解决问题的能力．