Question

19．三棱锥P-ABC，PC⊥面ABC，△PAC是等腰三角形，PA=4，AB⊥BC，CH⊥PB，垂足为H，D是PA的中点，则△CDH的面积最大时，CB的长是（　　）

• A． $\frac{\sqrt{5}}{3}$
• B． $\frac{2\sqrt{5}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{6}}{3}$
• D． $\frac{2\sqrt{6}}{3}$

Answer 1

分析 先证出△CHD是直角三角形，再利用基本不等式得出CH=DH=$\sqrt{2}$时△CDH的面积最大；
再利用三角形的等积法求出BC的值．

解答 解：三棱锥P-ABC中，PC⊥面ABC，AB?平面ABC，∴PC⊥AB；
又AB⊥BC，BC∩PC=C，
∴AB⊥平面PBC；
又CH?平面PBC，
∴AB⊥CH，
又CH⊥PB，
PB∩AB=B，
∴CH⊥平面PAB，
又DH?平面PAB，
∴CH⊥DH；
又△PAC是等腰直角三角形，且PA=4，D是PA的中点，
∴CD=$\frac{1}{2}$PA=2，
设CH=a，DH=b，
则a²+b²=CD²=4，
∴4=a²+b²≥2ab，
即$\frac{1}{2}$ab≤1，
当且仅当a=b=$\sqrt{2}$时，“=”成立，此时△CDH的面积最大；
在Rt△PBC，设BC=x，
则PB=$\sqrt{{PC}^{2}{+BC}^{2}}$=$\sqrt{{（2\sqrt{2}）}^{2}{+x}^{2}}$=$\sqrt{8{+x}^{2}}$，
∴$\frac{1}{2}$PC•BC=$\frac{1}{2}$PB•CH，
即2$\sqrt{2}$•x=$\sqrt{8{+x}^{2}}$•$\sqrt{2}$；
解得x=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
∴CB的长是$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．
故选：D．

点评 本题考查了空间几何体的平行与垂直关系的应用问题，也考查了面积公式的应用问题，考查了利用基本不等式求最值的问题，是综合性题目．