Question

14．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$与函数g（x）=mlnx在点（1，0）处有公共的切线，设h（x）=ax-g（x）．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）若h（x）在x=2处有极值，求h（x）的单调递减区间；
（Ⅲ）是否存在实数a，使h（x）在区间（0，e]的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由（1，0）在函数f（x）、g（x）的图象上，得到f′（1）=g′（1），从而求出m的值；
（Ⅱ）先求出函数h（x）的表达式，通过求导得到函数h（x）的单调区间；
（Ⅲ）假设存在实数a，使h（x）=ax-lnx在区间（0，e]上有最小值3，求出h′（x）=a-$\frac{1}{x}$，通过讨论a的范围，结合函数的单调性，从而求出a的值．

解答 解：（Ⅰ）因为f（1）=g（1）=0，
所以（1，0）在函数f（x）、g（x）的图象上，
又f′x）=x，$g'（x）=\frac{m}{x}$
所以f′（1）=1，g′（1）=m，
所以m=1；
（Ⅱ）因为h（x）=ax-g（x）=ax-mlnx，
所以h′（x）=a-$\frac{1}{x}$，
又因为h（x）在x=2处有极值，
所以h′（2）=a-$\frac{1}{2}$=0，
所以$a=\frac{1}{2}$，
经检验，$a=\frac{1}{2}$时，h（x）在x=2处有极值．
所以h（x）=$\frac{1}{2}$x-lnx，
令h′（x）=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{x}$＜0，解得：x＜2，
因为h（x）的定义域为（0，+∞），
所以0＜x＜2，
即h（x）的单调递减区间为（0，2）．
（Ⅲ）假设存在实数a，使h（x）=ax-lnx在区间（0，e]上有最小值3，
由h′（x）=a-$\frac{1}{x}$，
①当a≤0时，h′（x）＜0，h（x）在（0，e]上单调递减，
h（x）_min=h（e）=ae-1=3，解得：a=$\frac{4}{e}$，舍去；
②当a＞$\frac{1}{e}$即0＜$\frac{1}{a}$＜e时，h（x）在（0，$\frac{1}{a}$）单调递减，在（$\frac{1}{a}$，e]单调递增，
∴h（x）_min=h（$\frac{1}{a}$）=1+lna=3，解得：a=e²，满足条件，
③当0＜a＜$\frac{1}{e}$即$\frac{1}{a}$＞e时，h′（x）＜0，
∴h（x）在（0，e]上单调递减，
h（x）_min=h（e）=ae-1=3，解得：a=$\frac{4}{e}$，舍去，
综上，存在实数a=e²，使h（x）在区间（0，e]的最小值是3．

点评 本题考查了函数的单调性，函数的极值问题，考查导数的应用，本题是一道中档题．