Question

5．定义域为R的函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-2x（x≤0）}\\{f（x-1）（0＜x≤3）}\\{-3（x-4）^{2}+3（x＞3）}\end{array}\right.$，若函数g（x）=f（x）-2x-a有且只有两个零点，则实数a的取值范围为（　　）

• A． {a|-6≤a＜2}
• B． {a|-4≤a＜2}∪{-5}∪{-6}
• C． {a|-5≤a＜2}∪{-6}
• D． {a|-4≤a＜2}∪{-$\frac{14}{3}$}∪{-6}

Answer 1

分析 由题意可知函数f（x）与函数y=2x+a有且只有两个不同的交点，作函数图象，数形结合求解．

解答 解：∵函数g（x）=f（x）-2x-a有且只有两个零点，
∴函数f（x）与函数y=2x+a有且只有两个不同的交点，
作函数f（x）与函数y=2x+a的图象如下，

其中红色为线条为函数f（x）的图象，蓝色线条为当a取不同的值时y=2x+a的图象；
直线l时a取2，直线m时a取-4；直线k时a取-6；
直线n是y=-3（x-4）²+3的切线，
故-6（x-4）=2；
故x=4-$\frac{1}{3}$，y=3-$\frac{1}{3}$；
故a=3-$\frac{1}{3}$-2（4-$\frac{1}{3}$）=$\frac{1}{3}$-5=-$\frac{14}{3}$；
综上所述，实数a的取值范围为{a|-4≤a＜2}∪{-$\frac{14}{3}$}∪{-6}；
故选：D．

点评 本题考查了函数的零点与函数图象的交点的应用及数形结合的思想应用，属于中档题．