Question

16．一货船在A处测得灯塔C在北偏东15°且与货船相距20海里，随后货船按北偏西30°方向航行，15分钟后到达B处，此时测得灯塔C在货船的东北方向，若货船的航速为V海里/小时，则V=40（$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 先分别求得∠A和∠B，进而求得∠C，利用正弦定理求得AB，最后除以时间．

解答 解：根据题意知∠BAC=15°+30°=45°，∠CBA=45°+60°=105°，∠C=180°-45°-105°=30°
∴sin∠CBA=sin45°cos60°+cos45°sin60°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$．
∴由正弦定理知$\frac{AC}{sinB}$=$\frac{AB}{sinC}$，
∴AB=$\frac{AC}{sinB}$•sinC=$\frac{20}{\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}}$×$\frac{1}{2}$=10（$\sqrt{6}$$-\sqrt{2}$）．
V=$\frac{AB}{t}$=$\frac{10（\sqrt{6}-\sqrt{2}）}{\frac{1}{4}}$=40（$\sqrt{6}$$-\sqrt{2}$）（海里/小时）．
即货船的速度为40（$\sqrt{6}$$-\sqrt{2}$）海里/小时．
故答案为：$40（\sqrt{6}-\sqrt{2}）$．

点评 本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用．考查了学生分析问题和解决实际问题的能力．