Question

6．在正四面体ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，则下列结论错误的是（　　）

• A． 异面直线AB与CD所成的角为90°
• B． 直线AB与平面BCD成的角为60°
• C． 直线EF∥平面ACD
• D． 平面AFD垂直平面BCD

Answer 1

分析 过A作AG⊥CD，则G为CD中点，连接AG，AF，BG，DF，则BG⊥CD，DF⊥BC，利用正四面体的性质对选项分别分析选择．

解答 解：如图过A作AG⊥CD，则G为CD中点，连接AG，AF，BG，DF，则BG⊥CD，DF⊥BC，
所以CD⊥平面ABG，所以CD⊥AB，故A正确；
正四面体ABCD中，A在平面BCD的射影为O，则O在BG上，并且O为△BCD的中心，则直线AB与平面BCD成的角为∠ABO，又BO=$\frac{2}{3}BG=\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}AB=\frac{\sqrt{3}}{3}AB$，即$\frac{BO}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{3}$=sin∠ABO，所以∠ABO≠60°；故B错误；
正四面体ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，所以EF∥AC，EF?平面ACD，AC?平面ACD，所以EF∥平面ACD；故C正确；
因为几何体为正四面体，所以A在底面BCD的射影为底面的中心，所以AO⊥平面BCD，AO?平面AFD，所以平面AFD⊥平面BCD；故D正确；
故选：B．

点评 本题以正四面体为载体，考查了线面平行、面面垂直的判定定理的运用以及空间角的求法；关键是转化为线线关系解决．