Question

1．已知平面上四点O、A、B、C满足∠AOB=120°，∠BOC=90°，|$\overrightarrow{OA}$|=2，|$\overrightarrow{OB}$|=1，$\overrightarrow{OA}$=x$\overrightarrow{OB}$+y$\overrightarrow{OC}$，若x+y=-4，则|$\overrightarrow{OC}$|=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 如图所示，A$（-1，\sqrt{3}）$，B（1，0），设C（0，c）．利用$\overrightarrow{OA}$=x$\overrightarrow{OB}$+y$\overrightarrow{OC}$，及其向量坐标运算即可得出．

解答 解：如图所示，
A$（-1，\sqrt{3}）$，B（1，0），设C（0，c）．
∵$\overrightarrow{OA}$=x$\overrightarrow{OB}$+y$\overrightarrow{OC}$，
∴$（-1，\sqrt{3}）$=x（1，0）+y（0，c）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1=x}\\{\sqrt{3}=yc}\end{array}\right.$，又x+y=-4．
∴x=-1，y=-3，
c=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴$|\overrightarrow{OC}|$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了向量的坐标运算、共线定理、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．